Serie Numeriche

Una serie numerica è la somma di infiniti termini: $\sum_{n=0}^\infty a_n$. La somma parziale $S_N = \sum_{n=0}^N a_n$ è la somma dei primi $N+1$ termini. La serie converge a $S$ se $\lim_{N\to\infty} S_N = S$ (esiste finito). Se il limite delle somme parziali non esiste o è infinito, la serie diverge.

Condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza: $a_n \to 0$. Attenzione: non è sufficiente! La serie armonica $\sum_{n=1}^\infty 1/n$ diverge anche se $1/n\to0$.

Serie geometrica: $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}$ per $|q|<1$; diverge per $|q|\geq1$. La somma parziale è $S_N = (1-q^{N+1})/(1-q)$.

Serie di Riemann ($p$-series): $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ converge se e solo se $\alpha > 1$. Dimostrazione tramite il criterio dell'integrale: $\int_1^\infty x^{-\alpha}dx$ converge sse $\alpha>1$.

Convergenza assoluta: se $\sum|a_n|$ converge, allora $\sum a_n$ converge (assolutamente). La convergenza assoluta implica la convergenza semplice, ma non viceversa (esempio: serie armonica a segni alterni converge condizionatamente ma non assolutamente).

Criterio del rapporto (D'Alembert): $L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. Allora:

• $L<1$: la serie converge assolutamente
• $L>1$ (o $L=+\infty$): la serie diverge
• $L=1$: il criterio non è conclusivo

Particolarmente utile per serie con fattoriali ($n!$) o esponenziali ($q^n$).

Criterio della radice (Cauchy): $L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$. Stesse conclusioni del rapporto. Spesso più facile da applicare quando $a_n$ contiene potenze $n$-esime.

Criterio del confronto: se $0\leq a_n\leq b_n$ per ogni $n$ sufficientemente grande, allora: $\sum b_n$ converge $\Rightarrow\sum a_n$ converge; $\sum a_n$ diverge $\Rightarrow\sum b_n$ diverge.

Criterio del confronto asintotico: se $a_n,b_n>0$ e $\lim a_n/b_n = L\in(0,+\infty)$, allora $\sum a_n$ e $\sum b_n$ hanno lo stesso comportamento (entrambe convergono o entrambe divergono).

Criterio di Leibniz (serie a segni alterni): $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n b_n$ converge se $b_n$ è monotona decrescente e $b_n\to0$. La convergenza è condizionata (non assoluta se $\sum b_n$ diverge). Inoltre $|S-S_N|\leq b_{N+1}$ (stima dell'errore).