Analisi 2

Un'equazione differenziale ordinaria (ODE) è un'equazione in cui l'incognita non è un numero, ma una funzione $y(x)$, e che coinvolge le sue derivate. "Ordinaria" significa che $y$ dipende da una sola variabile (a differenza delle equazioni alle derivate parziali). L'ordine dell'equazione è quello della derivata più alta che vi compare: in questo capitolo trattiamo il primo ordine, in cui appare al massimo $y'$.

La forma più generale è $F(x,y,y')=0$, ma quasi sempre si riesce a esplicitare la derivata, ottenendo la forma normale:

Come leggerla. Pensa a $y(x)$ come alla posizione di un punto e a $x$ come al tempo. L'equazione $y'=f(x,y)$ ti dice la pendenza della traiettoria in ogni punto del piano: in ciascun $(x,y)$ è disegnata una freccetta con inclinazione $f(x,y)$. Risolvere l'ODE significa trovare le curve che, istante per istante, seguono quelle freccette. Questo disegno si chiama campo delle direzioni.

Soluzione generale e particolare. Integrare introduce sempre una costante arbitraria: la soluzione generale di un'equazione del primo ordine è una famiglia di curve dipendenti da una costante $C$. Per selezionarne una sola si impone una condizione iniziale $y(x_0)=y_0$ — geometricamente, "fai passare la curva per il punto $(x_0,y_0)$". L'insieme equazione + condizione iniziale si chiama problema di Cauchy.

Verificare una soluzione è sempre facile e va fatto: basta derivare la candidata e sostituirla nell'equazione. Se entrambi i membri coincidono, è una soluzione — non serve sapere come è stata trovata.

È il tipo più semplice e il primo da provare. Un'equazione è a variabili separabili quando il secondo membro si fattorizza come prodotto di una funzione della sola $x$ per una funzione della sola $y$:

Idea. Scriviamo $y'=\dfrac{dy}{dx}$ e trattiamo $dy$ e $dx$ come quantità da spostare ("separare") ai due lati dell'uguale: tutto ciò che contiene $y$ a sinistra, tutto ciò che contiene $x$ a destra. Poi si integrano i due membri separatamente.

Il risultato è in generale una relazione implicita tra $x$ e $y$; quando possibile la si esplicita in $y$.

Attenzione alle soluzioni costanti. Dividendo per $h(y)$ abbiamo implicitamente supposto $h(y)\neq 0$. Ma ogni valore $y_0$ con $h(y_0)=0$ fornisce la soluzione costante $y\equiv y_0$: queste vanno aggiunte a mano perché il procedimento di separazione le "perde". Spesso sono proprio gli stati di equilibrio del sistema.

Il modello fondamentale: $y'=ky$. Separando, $\int dy/y=\int k\,dx$ dà $\ln|y|=kx+C$, cioè $y=y_0e^{k(x-x_0)}$. Con $k>0$ è crescita esponenziale (popolazioni, interessi composti); con $k<0$ è decadimento esponenziale (sostanze radioattive, scarica di un condensatore, raffreddamento di Newton). La costante $1/|k|$ è il tempo caratteristico in cui la quantità si moltiplica/divide per $e$.

Un'equazione è lineare del primo ordine se $y$ e $y'$ vi compaiono solo al primo grado, senza prodotti o funzioni non lineari:

$Q(x)$ è il termine noto: se $Q\equiv 0$ l'equazione è omogenea (ed è anche separabile), altrimenti completa.

Il trucco del fattore integrante. Vorremmo che il membro sinistro fosse la derivata di un prodotto. Moltiplichiamo tutto per una funzione $\mu(x)$ ancora da determinare: $\mu y' + \mu P y = \mu Q$. Perché il sinistro sia esattamente $(\mu y)' = \mu y' + \mu' y$, serve $\mu' = \mu P$, cioè (separabile!) $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$. Questo $\mu$ si chiama fattore integrante.

Con tale $\mu$ l'equazione diventa $(\mu y)' = \mu Q$, che si integra direttamente:

Struttura della soluzione. Si scrive sempre come $y = y_{\text{om}} + y_{\text{part}}$: una parte $y_{\text{om}}=C/\mu$ che risolve l'omogenea (la "memoria" delle condizioni iniziali, di solito un transitorio che svanisce) più una soluzione particolare imposta dal termine noto (il "regime"). È la stessa struttura che ritroverai nelle ODE del secondo ordine e nei circuiti elettrici.

Esempio fisico: circuito RC. La carica $q$ su un condensatore in serie con resistenza $R$ e generatore $V$ obbedisce a $R\,q' + q/C = V$, cioè $q' + q/(RC)=V/R$: lineare del primo ordine. La soluzione $q(t)=CV(1-e^{-t/RC})$ mostra la carica che tende al valore di regime $CV$ con costante di tempo $\tau=RC$.

L'equazione di Bernoulli ha la forma

Non è lineare per via del termine $y^n$, ma una sostituzione la trasforma in lineare. (I casi $n=0$ e $n=1$ sono già lineari o separabili, perciò esclusi.)

La sostituzione. Dividiamo per $y^n$: $y^{-n}y' + P\,y^{1-n}=Q$. Poniamo $z = y^{1-n}$; allora $z' = (1-n)y^{-n}y'$, cioè $y^{-n}y' = z'/(1-n)$. Sostituendo si ottiene un'equazione lineare in $z$:

La si risolve col fattore integrante (§3), poi si torna a $y$ tramite $y = z^{1/(1-n)}$ (ricordando l'eventuale soluzione $y\equiv 0$ persa nella divisione).

Dove compare. La crescita logistica $y'=ry(1-y/K)$ è una Bernoulli con $n=2$; appare anche in modelli di fluidi e di reazioni chimiche. Il valore di Bernoulli sta nel metodo generale: "se vedi $y^n$ a destra e lineare a sinistra, sostituisci $z=y^{1-n}$".

Un'equazione $y'=f(x,y)$ si dice omogenea (di grado zero) se il secondo membro dipende solo dal rapporto $y/x$, cioè $y' = F\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$. Tipicamente accade quando $f$ è un quoziente di polinomi dello stesso grado.

La sostituzione. Poniamo $v = y/x$, da cui $y = vx$ e $y' = v + x\,v'$. L'equazione diventa $v + x v' = F(v)$, cioè

che è separabile in $v$ e $x$:

Risolta in $v$, si torna a $y = vx$. I valori $v_0$ con $F(v_0)=v_0$ danno le soluzioni rettilinee $y=v_0 x$ (rette per l'origine), spesso significative dal punto di vista geometrico.

Scriviamo l'equazione in forma differenziale simmetrica:

Si dice esatta se il membro sinistro è il differenziale totale $dF$ di una funzione $F(x,y)$, cioè se esiste $F$ con $F_x = M$ e $F_y = N$. In tal caso $dF=0$ lungo le soluzioni, quindi la soluzione generale è semplicemente $F(x,y)=C$ (curve di livello di $F$).

Criterio di esattezza. Poiché le derivate seconde miste coincidono ($F_{xy}=F_{yx}$), una condizione necessaria — e, su un dominio semplicemente connesso, sufficiente — è:

Come trovare $F$. Si integra $F_x=M$ rispetto a $x$ ottenendo $F=\int M\,dx + \varphi(y)$ (la "costante" può dipendere da $y$); poi si impone $F_y=N$ per determinare $\varphi(y)$. È la stessa procedura del potenziale di un campo conservativo, vista qui in due dimensioni.

Se non è esatta. A volte un fattore integrante $\mu$ rende esatta $\mu M\,dx+\mu N\,dy=0$. Due casi pratici: se $(M_y-N_x)/N$ dipende solo da $x$, allora $\mu(x)=e^{\int (M_y-N_x)/N\,dx}$; se $(N_x-M_y)/M$ dipende solo da $y$, allora $\mu(y)=e^{\int (N_x-M_y)/M\,dy}$.

Prima di risolvere conviene chiedersi: una soluzione esiste? È l'unica? I teoremi di esistenza e unicità rispondono senza bisogno di calcolare la soluzione.

Teorema di Peano (esistenza). Se $f(x,y)$ è continua in un intorno di $(x_0,y_0)$, il problema di Cauchy $y'=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$ ammette almeno una soluzione locale. La continuità garantisce l'esistenza, ma non l'unicità.

Teorema di Picard–Lindelöf (esistenza e unicità). Se inoltre $f$ è lipschitziana rispetto a $y$, cioè esiste $L$ tale che

allora la soluzione locale è unica. In pratica basta che $\partial f/\partial y$ sia continua (limitata) vicino al punto: la condizione di Lipschitz ne segue.

Perché serve. L'unicità ha un significato fisico forte: se un sistema deterministico parte da uno stato preciso, la sua evoluzione futura è determinata. Quando l'unicità fallisce, da un solo dato iniziale partono più soluzioni — il sistema "biforca". Esempio classico: $y'=\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ ha sia $y\equiv 0$ sia $y=x^2/4$ come soluzioni, perché $\sqrt{|y|}$ non è lipschitziana in $y=0$ (la pendenza esplode).

Esistenza globale. Le ipotesi garantiscono solo una soluzione locale: può "esplodere" in tempo finito (es. $y'=y^2$, $y(0)=1$ dà $y=1/(1-x)$, che diverge in $x=1$). L'intervallo massimale di esistenza è in generale più piccolo di tutto $\mathbb{R}$.