ODE 1°Media

ODE lineare del 1° ordine

Risolvi y' + 3y = 6 con y(0) = 0.

Dati forniti

y' + 3y = 6y(0) = 0

Passi

0 / 3

È un'ODE lineare del 1° ordine y' + P(x)y = Q(x): la tecnica standard è moltiplicare per il fattore integrante μ = e^{∫P dx}, che trasforma il lato sinistro nella derivata di un prodotto. Qui P = 3.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Grazie a μ il lato sinistro diventa (μy)', quindi integro entrambi i membri: ∫6e^{3x}dx = 2e^{3x}+C, poi isolo y.
Fisso la costante C con la condizione iniziale y(0) = 0, ottenendo la soluzione particolare.

Svolgimento completo

È un'ODE lineare del 1° ordine y' + P(x)y = Q(x): la tecnica standard è moltiplicare per il fattore integrante μ = e^{∫P dx}, che trasforma il lato sinistro nella derivata di un prodotto. Qui P = 3.
$\mu = e^{3x}$
$\mu = e^{\int P\,dx} = e^{\int 3\,dx} = e^{3x}$ . Fattore integrante dell'equazione $y' + 3y = 6$ .
Grazie a μ il lato sinistro diventa (μy)', quindi integro entrambi i membri: ∫6e^{3x}dx = 2e^{3x}+C, poi isolo y.
$e^{3x}y = 2e^{3x} + C$
$(e^{3x}y)' = 6e^{3x} \;\Rightarrow\; e^{3x}y = \displaystyle\int 6e^{3x}\,dx = 2e^{3x} + C \;\Rightarrow\; y = 2 + C\,e^{-3x}$ .
Fisso la costante C con la condizione iniziale y(0) = 0, ottenendo la soluzione particolare.
$0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$
$y(0) = 0 \;\Rightarrow\; 0 = 2 + C \;\Rightarrow\; C = \mathbf{-2}$ . Soluzione: $y(x) = 2(1 - e^{-3x})$ .

Risultato:y(x) = 2(1 − e^{−3x}).

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