SerieMedia

Serie geometrica — convergenza e somma

Calcola la somma della serie geometrica Σ_{n=0}^{∞} (3/4)^n.

Dati forniti

Σ_{n=0}^{∞} (3/4)^n

Passi

0 / 3

È una serie geometrica Σqⁿ: il suo comportamento dipende interamente dalla ragione q, il fattore costante tra un termine e il successivo. La identifico.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (adim.)
Una serie geometrica converge se e solo se |q| < 1 (i termini si rimpiccioliscono abbastanza in fretta); altrimenti diverge. Verifico la condizione.
Poiché converge, posso usare la formula chiusa della somma (partendo da n=0): S = 1/(1−q).

Svolgimento completo

È una serie geometrica Σqⁿ: il suo comportamento dipende interamente dalla ragione q, il fattore costante tra un termine e il successivo. La identifico.
$q = \dfrac{3}{4} = 0.75$
$q = \dfrac{3}{4} = 0.75$ . La serie è $\sum_{n=0}^{\infty} q^n$ con ragione $q = 3/4$ .
Una serie geometrica converge se e solo se |q| < 1 (i termini si rimpiccioliscono abbastanza in fretta); altrimenti diverge. Verifico la condizione.
$|0.75| = 0.75 < 1 \Rightarrow \text{converge}$
$|q| = |0.75| = 0.75 < 1$ . Una serie geometrica converge se e solo se $|q| < 1$ .
Poiché converge, posso usare la formula chiusa della somma (partendo da n=0): S = 1/(1−q).
$S = \dfrac{1}{1 - 0.75} = \dfrac{1}{0.25}$
$S = \dfrac{1}{1-q} = \dfrac{1}{1-0.75} = \dfrac{1}{0.25} = \mathbf{4}$ .

Risultato:La serie converge a S = 4.

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