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Serie di potenze: raggio di convergenza

Trova il raggio di convergenza di

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n\,x^n}{3^n}

Dati forniti

c_n = n/3^n

Passi

0 / 3

Per il raggio di convergenza di una serie di potenze applico il criterio del rapporto ai termini (che contengono x): calcolo |a_{n+1}/a_n|, da cui ricaverò la condizione su |x|.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Calcolo il limite del rapporto per n→∞: poiché (n+1)/n → 1, resta un'espressione proporzionale a |x|.
La serie converge dove il limite del rapporto è < 1, cioè |x|/3 < 1 → |x| < 3: il raggio R è esattamente questa soglia.

Svolgimento completo

Per il raggio di convergenza di una serie di potenze applico il criterio del rapporto ai termini (che contengono x): calcolo |a_{n+1}/a_n|, da cui ricaverò la condizione su |x|.
$\left|\frac{(n+1)x^{n+1}/3^{n+1}}{nx^n/3^n}\right| = \frac{(n+1)|x|}{3n}$
$\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\dfrac{(n+1)x^{n+1}/3^{n+1}}{n x^n/3^n}\right| = \dfrac{(n+1)|x|}{3n}$ .
Calcolo il limite del rapporto per n→∞: poiché (n+1)/n → 1, resta un'espressione proporzionale a |x|.
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)|x|}{3n} = \frac{|x|}{3}$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{(n+1)|x|}{3n} = \dfrac{|x|}{3}\lim_{n\to\infty} \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{|x|}{3}$ .
La serie converge dove il limite del rapporto è < 1, cioè |x|/3 < 1 → |x| < 3: il raggio R è esattamente questa soglia.
$R = 3$
La serie converge per $|x|/3 < 1$ ⇒ $|x| < 3$ . Raggio di convergenza: $R = \mathbf{3}$ .

Risultato:R = 3.

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