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Funzione inversa — esponenziale e logaritmo

Data f(x) = e^{3x−2}, trova la funzione inversa f⁻¹(x) e il suo dominio.

Dati forniti

f(x) = e^{3x−2}

Passi

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Per trovare l'inversa scrivo y = f(x) e poi isolo x. Qui la funzione è un esponenziale, e l'operazione che 'libera' l'esponente è il suo inverso, il logaritmo naturale: quale operazione applico a entrambi i membri?
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Applicando ln a entrambi i membri e usando la proprietà ln(eᵘ) = u, l'esponente 'scende' e l'equazione diventa lineare in x: quanto vale ln y?
Ora è un'equazione lineare: porto il −2 a sinistra e divido tutto per 3 per isolare x.
Per convenzione l'inversa si scrive in funzione di x, quindi scambio i nomi x ↔ y. Qual è quindi f⁻¹(x)?

Svolgimento completo

Per trovare l'inversa scrivo y = f(x) e poi isolo x. Qui la funzione è un esponenziale, e l'operazione che 'libera' l'esponente è il suo inverso, il logaritmo naturale: quale operazione applico a entrambi i membri?
$y = e^{3x-2}$
$y = e^{3x-2}$ . Per invertire applichiamo il logaritmo naturale a entrambi i membri.
Applicando ln a entrambi i membri e usando la proprietà ln(eᵘ) = u, l'esponente 'scende' e l'equazione diventa lineare in x: quanto vale ln y?
$\ln y = 3x - 2$
$\ln y = 3x - 2$ . Poiché $\ln(e^u) = u$ , si ottiene $\ln y = 3x-2$ .
Ora è un'equazione lineare: porto il −2 a sinistra e divido tutto per 3 per isolare x.
$x = \dfrac{\ln y + 2}{3}$
$x = \dfrac{\ln y + 2}{3}$ . Isoliamo $x$ portando $-2$ a sinistra e dividendo per $3$ .
Per convenzione l'inversa si scrive in funzione di x, quindi scambio i nomi x ↔ y. Qual è quindi f⁻¹(x)?
$f^{-1}(x) = \dfrac{\ln x + 2}{3}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{\ln x + 2}{3}$ . Il dominio è $(0,+\infty)$ perché $\ln x$ richiede $x>0$ , pari al codominio di $f$ .

Risultato:f⁻¹(x) = (ln x + 2)/3, dominio (0, +∞).

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