Formulario di Analisi 1

Formulario completo di Analisi Matematica 1: insiemi, limiti, derivate, integrali, serie, ODE. Tutte le formule in PDF.

Insiemi Numerici e Funzioni
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}
2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}
sup⁡A=min⁡{M:x≤M  ∀x∈A}\sup A = \min\{M : x \leq M\;\forall x\in A\}
A limitato⇒∃ sup⁡A, inf⁡A∈RA \text{ limitato} \Rightarrow \exists\,\sup A,\,\inf A \in \mathbb{R}
f:A→B,x↦f(x)f: A\to B,\quad x\mapsto f(x)
(f∘g)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x) = f(g(x))
f invertibile  ⟺  f biiettivaf \text{ invertibile} \iff f \text{ biiettiva}
ex+y=exey,ln⁡(xy)=ln⁡x+ln⁡ye^{x+y}=e^x e^y,\quad \ln(xy)=\ln x+\ln y
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1
sin⁡(x±y)=sin⁡xcos⁡y±cos⁡xsin⁡y\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y
Limiti di Successioni e Funzioni
lim⁡n→∞an=L  ⟺  ∀ε>0  ∃N:  n>N⇒∣an−L∣<ε\lim_{n\to\infty}a_n=L\iff\forall\varepsilon>0\;\exists N:\;n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon
lim⁡n→∞(1+1/n)n=e\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e
lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→0ex−1x=1,lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1
Gerarchia: ln⁡x≪xα≪ex\text{Gerarchia: }\ln x\ll x^\alpha\ll e^x
lim⁡x→0sin⁡(αx)/(βx)=α/β\lim_{x\to0}\sin(\alpha x)/(\beta x)=\alpha/\beta
lim⁡x→+∞xn/ex=0\lim_{x\to+\infty}x^n/e^x=0
m=lim⁡x→±∞f(x)/x,q=lim⁡x→±∞[f(x)−mx]m=\lim_{x\to\pm\infty}f(x)/x,\quad q=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-mx]
Asin. vert.: lim⁡x→x0∣f(x)∣=+∞\text{Asin. vert.: }\lim_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty
Derivate e Teoremi del Calcolo Differenziale
f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
f derivabile in x0⇒f continuaf\text{ derivabile in }x_0\Rightarrow f\text{ continua}
(fg)′=f′g+fg′,(f/g)′=(f′g−fg′)/g2(fg)'=f'g+fg',\quad(f/g)'=(f'g-fg')/g^2
[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)
(ex)′=ex,(ln⁡x)′=1/x(e^x)'=e^x,\quad(\ln x)'=1/x
∃c∈(a,b):  f′(c)=f(b)−f(a)b−a\exists c\in(a,b):\;f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
f′≥0  ⟺  f crescentef'\geq0\iff f\text{ crescente}
lim⁡fg=0/0lim⁡f′g′\lim\frac{f}{g}\stackrel{0/0}{=}\lim\frac{f'}{g'}
f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+o((x−x0)n)f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)
ex=∑xk/k!,sin⁡x=x−x3/6+o(x3)e^x=\sum x^k/k!,\quad\sin x=x-x^3/6+o(x^3)
Studio Completo di una Funzione
Dom(f)={x∈R:f(x) eˋ definita}\text{Dom}(f) = \{x\in\mathbb{R} : f(x)\text{ è definita}\}
f pari  ⟺  f(−x)=f(x)  ∀x∈Domf \text{ pari} \iff f(-x)=f(x)\;\forall x\in\text{Dom}
f dispari  ⟺  f(−x)=−f(x)  ∀x∈Domf \text{ dispari} \iff f(-x)=-f(x)\;\forall x\in\text{Dom}
f(0)=intersezione con asse yf(0) = \text{intersezione con asse }y
f(x)=0⇒zeri (intersezioni con asse x)f(x) = 0 \Rightarrow \text{zeri (intersezioni con asse }x)
Segno: studiare sgn(num)⋅sgn(den)\text{Segno: studiare }\text{sgn}(\text{num}) \cdot \text{sgn}(\text{den})
A. vert. in x0  ⟺  lim⁡x→x0∣f(x)∣=+∞\text{A. vert. in }x_0\iff\lim_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty
A. oriz. y=L  ⟺  lim⁡x→±∞f(x)=L\text{A. oriz. }y=L\iff\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L
m=lim⁡x→∞f(x)x,q=lim⁡x→∞[f(x)−mx]m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\quad q=\lim_{x\to\infty}[f(x)-mx]
f′(x0)=0 e f′ cambia +→−⇒x0 max localef'(x_0)=0 \text{ e } f' \text{ cambia } +\to-\Rightarrow x_0 \text{ max locale}
f′(x0)=0 e f′ cambia −→+⇒x0 min localef'(x_0)=0 \text{ e } f' \text{ cambia } -\to+\Rightarrow x_0 \text{ min locale}
f′(x0)=0,  f′′(x0)>0⇒min;f′′(x0)<0⇒maxf'(x_0)=0,\;f''(x_0)>0\Rightarrow\text{min};\quad f''(x_0)<0\Rightarrow\text{max}
f′′(x)>0⇒f convessa (∪)f''(x)>0\Rightarrow f\text{ convessa (}\cup\text{)}
f′′(x)<0⇒f concava (∩)f''(x)<0\Rightarrow f\text{ concava (}\cap\text{)}
f′′(x0)=0 con cambio segno⇒x0 flessof''(x_0)=0\text{ con cambio segno}\Rightarrow x_0\text{ flesso}
Tabella: x,  f′(x),  f(x),  f′′(x)\text{Tabella: } x,\; f'(x),\; f(x),\; f''(x)
Grafico: asintoti \rightarrowpunti notevoli \rightarrowcurva\text{Grafico: asintoti \rightarrow punti notevoli \rightarrow curva}
Integrali — Indefiniti e Definiti
∫xn dx=xn+1/(n+1)+C,∫1/x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^n\,dx=x^{n+1}/(n+1)+C,\quad\int1/x\,dx=\ln|x|+C
∫ex dx=ex+C,∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int e^x\,dx=e^x+C,\quad\int\sin x\,dx=-\cos x+C
∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du
∫f(g(x))g′(x) dx=∫f(t) dt\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)
d/dx∫axf(t) dt=f(x)d/dx\int_a^x f(t)\,dt=f(x)
∫1+∞x−αdx=1/(α−1)  (α>1)\int_1^{+\infty}x^{-\alpha}dx=1/(\alpha-1)\;(\alpha>1)
∫0+∞e−xdx=1\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1
Serie Numeriche
∑n=0∞qn=1/(1−q)  (∣q∣<1)\sum_{n=0}^\infty q^n=1/(1-q)\;(|q|<1)
∑1/nα:conv. se α>1, div. se α≤1\sum 1/n^\alpha:\text{conv. se }\alpha>1,\text{ div. se }\alpha\leq1
L=lim⁡∣an+1/an∣:  L<1⇒conv.,  L>1⇒div.L=\lim|a_{n+1}/a_n|:\;L<1\Rightarrow\text{conv.},\;L>1\Rightarrow\text{div.}
∑(−1)nbn conv. se bn↘0\sum(-1)^n b_n\text{ conv. se }b_n\searrow0
Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE)
y′=ky⇒y=y0ek(x−x0)y'=ky\Rightarrow y=y_0e^{k(x-x_0)}
aλ2+bλ+c=0a\lambda^2+b\lambda+c=0
Δ<0:  y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)\Delta<0:\;y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)
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