Insiemi Numerici e Funzioni

Gli insiemi numerici — da N a R

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}

Estremo superiore, inferiore e completezza di R

\sup A = \min\{M : x \leq M\;\forall x\in A\}

A \text{ limitato} \Rightarrow \exists\,\sup A,\,\inf A \in \mathbb{R}

Funzioni reali — definizione e proprietà

f: A\to B,\quad x\mapsto f(x)

(f\circ g)(x) = f(g(x))

f \text{ invertibile} \iff f \text{ biiettiva}

Funzioni elementari

e^{x+y}=e^x e^y,\quad \ln(xy)=\ln x+\ln y

\sin^2 x+\cos^2 x=1

\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y

Numeri Complessi

Forma algebrica e operazioni

|z| = \sqrt{a^2+b^2}

\overline{z}=a-bi

z\overline{z}=|z|^2

Piano di Gauss e forma trigonometrica

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

z = r e^{i\theta}

Prodotto, rapporto e potenza in forma esponenziale

(r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}

Radici n-esime dell'unità

w_k = \sqrt[n]{r}\, e^{i(\theta+2\pi k)/n}

Esponenziale complesso e applicazioni

e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)

Equazioni in campo complesso

P(z)=0\text{ ha esattamente }n\text{ radici in }\mathbb{C}

z = (-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)

Induzione e Calcolo Combinatorio

Principio di induzione

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

(1+x)^n \geq 1+nx\quad(x>-1)

Coefficienti binomiali e formula di Newton

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Sommatorie e progressioni

S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}

S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}\;(q\neq1)

\sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}\;(|q|<1)

Limiti di Successioni e Funzioni

Successioni — definizione e convergenza

\lim_{n\to\infty}a_n=L\iff\forall\varepsilon>0\;\exists N:\;n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon

\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e

Limiti di funzioni — definizione e proprietà

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1

Forme indeterminate e tecniche

\text{Gerarchia: }\ln x\ll x^\alpha\ll e^x

\lim_{x\to0}\sin(\alpha x)/(\beta x)=\alpha/\beta

\lim_{x\to+\infty}x^n/e^x=0

Limiti all'infinito e asintoti

m=\lim_{x\to\pm\infty}f(x)/x,\quad q=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-mx]

\text{Asin. vert.: }\lim_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty

Derivate e Teoremi del Calcolo Differenziale

Definizione di derivata

f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

f\text{ derivabile in }x_0\Rightarrow f\text{ continua}

Regole di derivazione

(fg)'=f'g+fg',\quad(f/g)'=(f'g-fg')/g^2

[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)

(e^x)'=e^x,\quad(\ln x)'=1/x

Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy

\exists c\in(a,b):\;f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

f'\geq0\iff f\text{ crescente}

Regola di De L'Hôpital

\lim\frac{f}{g}\stackrel{0/0}{=}\lim\frac{f'}{g'}

Formula di Taylor e MacLaurin

f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)

e^x=\sum x^k/k!,\quad\sin x=x-x^3/6+o(x^3)

Serie di Taylor e Sviluppi in Serie

Serie di potenze e raggio di convergenza

R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n

Serie di Taylor e MacLaurin

f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n)

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

Sviluppi notevoli

e^x = \sum x^n/n!

\sin x = \sum (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!

\cos x = \sum (-1)^n x^{2n}/(2n)!

\ln(1+x) = \sum (-1)^{n-1} x^n/n

1/(1-x) = \sum x^n

Applicazioni al calcolo di limiti

\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac16

f(x) = T_n(x) + o(x^n)

Studio Completo di una Funzione

2. Dominio e Simmetrie

\text{Dom}(f) = \{x\in\mathbb{R} : f(x)\text{ è definita}\}

f \text{ pari} \iff f(-x)=f(x)\;\forall x\in\text{Dom}

f \text{ dispari} \iff f(-x)=-f(x)\;\forall x\in\text{Dom}

4. Intersezioni con gli Assi e Segno

f(0) = \text{intersezione con asse }y

f(x) = 0 \Rightarrow \text{zeri (intersezioni con asse }x)

\text{Segno: studiare }\text{sgn}(\text{num}) \cdot \text{sgn}(\text{den})

Limiti agli Estremi del Dominio e Asintoti

\text{A. vert. in }x_0\iff\lim_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty

\text{A. oriz. }y=L\iff\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L

m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\quad q=\lim_{x\to\infty}[f(x)-mx]

Derivata Prima — Crescenza, Massimi e Minimi

f'(x_0)=0 \text{ e } f' \text{ cambia } +\to-\Rightarrow x_0 \text{ max locale}

f'(x_0)=0 \text{ e } f' \text{ cambia } -\to+\Rightarrow x_0 \text{ min locale}

f'(x_0)=0,\;f''(x_0)>0\Rightarrow\text{min};\quad f''(x_0)<0\Rightarrow\text{max}

Derivata Seconda — Concavità e Flessi

f''(x)>0\Rightarrow f\text{ convessa (}\cup\text{)}

f''(x)<0\Rightarrow f\text{ concava (}\cap\text{)}

f''(x_0)=0\text{ con cambio segno}\Rightarrow x_0\text{ flesso}

9. Tabella Riassuntiva e Grafico

\text{Tabella: } x,\; f'(x),\; f(x),\; f''(x)

\text{Grafico: asintoti \rightarrow punti notevoli \rightarrow curva}

Integrali — Indefiniti e Definiti

Integrale indefinito — primitiva

\int x^n\,dx=x^{n+1}/(n+1)+C,\quad\int1/x\,dx=\ln|x|+C

\int e^x\,dx=e^x+C,\quad\int\sin x\,dx=-\cos x+C

Metodi di integrazione

\int u\,dv=uv-\int v\,du

\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt

Integrale definito e Teorema Fondamentale

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

d/dx\int_a^x f(t)\,dt=f(x)

Integrali impropri

\int_1^{+\infty}x^{-\alpha}dx=1/(\alpha-1)\;(\alpha>1)

\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1

Serie Numeriche

Definizione e convergenza

\sum_{n=0}^\infty q^n=1/(1-q)\;(|q|<1)

\sum 1/n^\alpha:\text{conv. se }\alpha>1,\text{ div. se }\alpha\leq1

Criteri di convergenza

L=\lim|a_{n+1}/a_n|:\;L<1\Rightarrow\text{conv.},\;L>1\Rightarrow\text{div.}

\sum(-1)^n b_n\text{ conv. se }b_n\searrow0

Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE)

ODE del I ordine a variabili separabili

y'=ky\Rightarrow y=y_0e^{k(x-x_0)}

ODE lineari del II ordine a coefficienti costanti

a\lambda^2+b\lambda+c=0

\Delta<0:\;y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)

ODE Lineari del Primo Ordine

Forma generale e fattore integrante

\mu(x) = e^{\int a(x)\,dx}

y = \frac{1}{\mu}\int\mu b\,dx + \frac{C}{\mu}

Problema di Cauchy

y(x_0)=y_0 \Rightarrow C = \mu(x_0)y_0 - \int\mu b\,dx|_{x_0}

Applicazioni

L\frac{di}{dt} + Ri = V(t)

Formulario di Analisi 1