LimitiMedia

Limite notevole con sin(ax)/(bx)

Calcola lim_{x→0} sin(4x)/(2x) utilizzando il limite notevole fondamentale.

Dati forniti

lim_{x→0} sin(4x)/(2x)

Passi

0 / 3

Per sfruttare il limite notevole sin(t)/t → 1, l'argomento del seno e il denominatore devono essere identici. Moltiplico e divido per 4 così compare sin(4x)/(4x): quale coefficiente numerico resta davanti?
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (coefficiente)
Con la sostituzione t = 4x, quando x→0 anche t→0: quindi sin(4x)/(4x) è esattamente la forma del limite notevole. Quanto vale?
Rimetto insieme i pezzi: moltiplico il coefficiente esterno per il valore del limite notevole (che è 1).

Svolgimento completo

Per sfruttare il limite notevole sin(t)/t → 1, l'argomento del seno e il denominatore devono essere identici. Moltiplico e divido per 4 così compare sin(4x)/(4x): quale coefficiente numerico resta davanti?
$\dfrac{\sin(4x)}{2x} = \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{\sin(4x)}{4x}$
$\dfrac{\sin(4x)}{2x} = \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{\sin(4x)}{4x} = 2 \cdot \dfrac{\sin(4x)}{4x}$ . Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $4$ per ottenere la forma del limite notevole.
Con la sostituzione t = 4x, quando x→0 anche t→0: quindi sin(4x)/(4x) è esattamente la forma del limite notevole. Quanto vale?
$\lim_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1$
$\displaystyle\lim_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1$ . Con $t = 4x$ , quando $x\to 0$ anche $t\to 0$ .
Rimetto insieme i pezzi: moltiplico il coefficiente esterno per il valore del limite notevole (che è 1).
$2 \cdot 1 = 2$
$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(4x)}{2x} = 2 \cdot 1 = \mathbf{2}$ .

Risultato:lim_{x→0} sin(4x)/(2x) = 2.

Continua a studiare