Limiti di Successioni e Funzioni

Una successione è una funzione $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, indicata con $(a_n)$ dove $a_n$ è il termine $n$-esimo. Studiare la convergenza significa chiedersi: cosa succede a $a_n$ quando $n$ diventa arbitrariamente grande?

Definizione formale di convergenza: $a_n \to L$ (si legge "$a_n$ tende a $L$") se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un indice $N\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $n>N$ si ha $|a_n-L|<\varepsilon$. Intuitivamente: da un certo punto in poi, tutti i termini della successione stanno a distanza minore di $\varepsilon$ da $L$, per qualsiasi $\varepsilon$ piccolo a piacere.

Esempi fondamentali:

• $1/n \to 0$: dato $\varepsilon>0$, basta scegliere $N>1/\varepsilon$; per $n>N$, $|1/n-0|=1/n<1/N<\varepsilon$.
• $(-1)^n$ non converge (diverge per oscillazione): i termini saltano tra $1$ e $-1$ senza stabilizzarsi.
• $(1+1/n)^n \to e$, dove $e\approx2.71828$ è il numero di Eulero, base dei logaritmi naturali.

Algebra dei limiti: se $a_n\to L$ e $b_n\to M$, allora:

• $a_n+b_n \to L+M$ (il limite della somma è la somma dei limiti)
• $a_n b_n \to LM$ (il limite del prodotto è il prodotto dei limiti)
• $a_n/b_n \to L/M$ (se $M\neq0$) — il limite del rapporto è il rapporto dei limiti

Teorema del confronto (Squeeze / Carabinieri): se $a_n\leq b_n\leq c_n$ definitivamente e $a_n\to L$, $c_n\to L$, allora anche $b_n\to L$. Utile per limiti "intrappolati" tra due successioni convergenti allo stesso limite.

Teorema di convergenza monotona: ogni successione monotona (crescente o decrescente) e limitata converge. Questo è un corollario della completezza di $\mathbb{R}$.

Definizione $\varepsilon$-$\delta$: $\lim_{x\to x_0} f(x)=L$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che $0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$. Nota: $0<|x-x_0|$ significa che $x$ si avvicina a $x_0$ ma non è mai uguale — il valore di $f$ in $x_0$ stesso è irrilevante per il limite.

Limite destro e sinistro: $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ considera $x$ che tende a $x_0$ da destra ($x>x_0$); $\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ da sinistra ($x<x_0$). Il limite bilaterale esiste se e solo se entrambi i limiti unilaterali esistono e sono uguali.

Limiti notevoli fondamentali (da memorizzare):

• $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ — dimostrabile con il teorema del confronto geometrico: $\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$ per $x$ vicino a $0$.
• $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ — conseguenza della definizione di derivata dell'esponenziale.
• $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ — si dimostra con la sostituzione $t=\ln(1+x)$.

Algebra dei limiti: valgono le stesse regole delle successioni per somma, prodotto, rapporto (purché non si cada in forme indeterminate).

Quando si calcola un limite, la sostituzione diretta può portare a espressioni prive di significato: le forme indeterminate. Le 7 forme classiche sono:

$$0/0,\quad \infty/\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \infty-\infty,\quad 0^0,\quad 1^\infty,\quad \infty^0.$$

Tecniche per risolvere le forme indeterminate:

1. Manipolazione algebrica: scomporre in fattori, razionalizzare, semplificare. Utile per $0/0$ con polinomi.
2. Sostituzione con limiti notevoli: riconoscere le forme $\sin(t)/t$, $(e^t-1)/t$, $\ln(1+t)/t$.
3. Regola di De L'Hôpital (se si conoscono le derivate): derivare numeratore e denominatore separatamente.
4. Sviluppi di Taylor: sostituire le funzioni con i loro polinomi approssimanti.

Gerarchia degli infiniti per $x\to+\infty$: $\ln x \ll x^\alpha \ll e^x$ per ogni $\alpha>0$. Significa che l'esponenziale batte qualsiasi potenza, e la potenza batte qualsiasi logaritmo:

• $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$ per ogni $n$
• $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0$ per ogni $\alpha>0$

Studiare il comportamento di $f$ per $x\to\pm\infty$ o vicino ai bordi del dominio è essenziale per tracciare il grafico.

Asintoto verticale in $x=x_0$: si ha quando $\lim_{x\to x_0^\pm}|f(x)|=+\infty$. Tipicamente dove il denominatore si annulla mentre il numeratore non si annulla.

Asintoto orizzontale $y=L$: si ha quando $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ (finito). La curva si avvicina alla retta orizzontale $y=L$ per $x$ grandi in modulo.

Asintoto obliquo $y=mx+q$: quando non esiste asintoto orizzontale ma la funzione cresce linearmente. Si calcola:

1. $m = \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ (deve essere finito e $\neq0$)
2. $q = \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-mx]$ (deve essere finito)

Attenzione: asintoto orizzontale e obliquo non possono coesistere dallo stesso lato. Calcolare prima $m$: se $m=0$ cercare orizzontale, se $m\neq0$ cercare obliquo.