Derivate e Teoremi del Calcolo Differenziale

La derivata di $f$ in $x_0$ è definita come il limite del rapporto incrementale:

$$f'(x_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$$

quando questo limite esiste ed è finito. Interpretazione geometrica: $f'(x_0)$ è la pendenza della retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0,f(x_0))$. Interpretazione fisica: se $f$ è la posizione, $f'$ è la velocità istantanea.

Derivata sinistra e destra: se il limite è preso con $h\to0^-$ o $h\to0^+$ si ottengono rispettivamente $f'_-(x_0)$ e $f'_+(x_0)$. $f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se entrambe esistono e sono uguali.

Derivabilità implica continuità: se $f'(x_0)$ esiste, allora $f$ è continua in $x_0$. Il viceversa è falso. Controesempio classico: $f(x)=|x|$ è continua ovunque ma non derivabile in $x=0$ perché $f'_-(0)=-1\neq1=f'_+(0)$ (cuspide).

Equazione della retta tangente: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.

Derivate fondamentali (da memorizzare):

• $(x^n)' = nx^{n-1}$ per ogni $n\in\mathbb{R}$ (inclusi $n$ negativi e frazionari)
• $(e^x)' = e^x$; $(a^x)' = a^x\ln a$
• $(\ln x)' = 1/x$; $(\log_a x)' = 1/(x\ln a)$
• $(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$; $(\tan x)' = 1/\cos^2 x = 1+\tan^2 x$
• $(\arcsin x)' = 1/\sqrt{1-x^2}$; $(\arccos x)' = -1/\sqrt{1-x^2}$; $(\arctan x)' = 1/(1+x^2)$
• $(\sinh x)' = \cosh x$; $(\cosh x)' = \sinh x$

Regole di derivazione:

• Linearità: $(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$
• Prodotto (Leibniz): $(fg)' = f'g + fg'$ — "derivata del primo per il secondo + primo per derivata del secondo"
• Rapporto: $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$ (dove $g\neq0$) — "derivata del numeratore per denominatore meno numeratore per derivata del denominatore, tutto sul quadrato del denominatore"
• Catena (Chain rule): $[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$ — "derivata della funzione esterna, valutata nella funzione interna, moltiplicata per la derivata della funzione interna". Applicare dall'esterno verso l'interno.
• Funzione inversa: se $g = f^{-1}$, allora $g'(y) = 1/f'(g(y))$.

Teorema di Rolle: se $f$ è continua su $[a,b]$, derivabile su $(a,b)$, e $f(a)=f(b)$, allora esiste $c\in(a,b)$ tale che $f'(c)=0$. Interpretazione geometrica: un arco di curva regolare con estremi alla stessa altezza ha almeno un punto a tangente orizzontale.

Teorema di Lagrange (Valor Medio): se $f$ è continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$, allora esiste $c\in(a,b)$ tale che:

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Interpretazione geometrica: esiste un punto in cui la tangente è parallela alla secante che congiunge $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$. Questo è uno dei teoremi più importanti del calcolo differenziale.

Corollari sulla monotonia (conseguenze di Lagrange):

• $f'(x)>0$ su $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ è strettamente crescente su $[a,b]$
• $f'(x)<0$ su $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ è strettamente decrescente su $[a,b]$
• $f'(x)=0$ su $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ è costante su $[a,b]$

Teorema di Cauchy (Valor Medio generalizzato): se $f,g$ sono continue su $[a,b]$, derivabili su $(a,b)$, $g'\neq0$, allora $\exists c\in(a,b)$ con $f'(c)/g'(c) = (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))$. Questo è il fondamento della regola di De L'Hôpital.

Regola di De L'Hôpital: siano $f$ e $g$ derivabili vicino a $x_0$ (o all'infinito), con $g'\neq0$, e supponiamo che $\lim f/g$ presenti una delle forme indeterminate $0/0$ o $\infty/\infty$. Allora:

$$\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'},$$

purché il limite di destra esista (finito o $\pm\infty$). La regola può essere applicata ripetutamente se il risultato è ancora indeterminato.

Come convertire altre forme a $0/0$ o $\infty/\infty$:

• $0\cdot\infty$: scrivere $f\cdot g = f/(1/g)$ per ottenere $0/0$
• $\infty-\infty$: trovare un denominatore comune o razionalizzare
• $0^0, 1^\infty, \infty^0$: applicare il logaritmo per convertire in $0/0$ o $\infty/\infty$

Attenzione: la regola richiede che il limite di $f'/g'$ esista. Se $\lim f'/g'$ non esiste, la regola non fornisce informazioni (non implica che $\lim f/g$ non esista — potrebbe esistere comunque con altri metodi).

Se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$, il polinomio di Taylor di ordine $n$ centrato in $x_0$ approssima $f$ vicino a $x_0$:

$$f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n) \quad\text{per }x\to x_0.$$

Il resto $o((x-x_0)^n)$ (forma di Peano) è trascurabile rispetto a $(x-x_0)^n$ per $x\to x_0$.

Sviluppi di MacLaurin ($x_0=0$) fondamentali:

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + o(x^{2n+1})$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + o(x^{2n})$
• $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + o(x^n)$
• $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots + o(x^n)$ (serie binomiale)

Applicazioni: calcolo di limiti di forme indeterminate (sostituire la funzione con il suo sviluppo di Taylor e semplificare); approssimazione di integrali; dimostrazione di disuguaglianze.