Studio Completo di una Funzione

Passo 1 — Determinazione del dominio: trovare l'insieme di definizione di $f$, cioè tutti i valori di $x$ per cui $f(x)$ ha senso. Escludere:

• Denominatori = 0 (la funzione non è definita dove il denominatore si annulla)
• Argomenti di logaritmi $\leq 0$ (logaritmo definito solo per $>0$)
• Argomenti di radici pari $< 0$ (radici pari definite solo per $\geq 0$)
• Argomenti di $\arcsin$ e $\arccos$ fuori da $[-1,1]$
• Basi di potenze irrazionali (se la base è negativa, la potenza potrebbe non essere definita)

Trucco: risolvere prima la condizione più restrittiva, poi intersecare con le altre.

Passo 2 — Simmetrie: verificare se $f$ possiede proprietà di simmetria che semplificano lo studio:

• Pari se $f(-x)=f(x)$: grafico simmetrico rispetto all'asse $y$. Si studia solo $x\geq0$ e poi si riflette.
• Dispari se $f(-x)=-f(x)$: grafico simmetrico rispetto all'origine. Si studia solo $x\geq0$ e si ruota di $180^\circ$.
• Periodica di periodo $T$: si studia un solo intervallo di lunghezza $T$ e poi si replica.

Come verificare: calcolare $f(-x)$ e confrontare con $f(x)$ e $-f(x)$. Attenzione: il dominio deve essere simmetrico, altrimenti la funzione non può essere né pari né dispari.

Passo 3 — Intersezioni con gli assi cartesiani:

• Asse $y$: calcolare $f(0)$ (solo se $0\in\text{Dom}$). Fornisce il punto $(0,f(0))$ in cui il grafico interseca l'asse verticale.
• Asse $x$ (zeri): risolvere $f(x)=0$. Le soluzioni sono i punti in cui il grafico tocca o attraversa l'asse orizzontale. Spesso non è necessario trovare tutti gli zeri con precisione: basta conoscerne il numero e la posizione approssimativa.

Passo 4 — Segno di $f(x)$: determinare gli intervalli in cui $f(x)>0$ (grafico sopra l'asse $x$) e $f(x)<0$ (grafico sotto l'asse $x$).

Metodo della tabella dei segni: scomporre $f$ in fattori (numeratore e denominatore se $f$ è razionale), studiare il segno di ogni fattore separatamente, e combinarli con la regola dei segni ($+\cdot+ = +$, $+\cdot- = -$, ecc.).

Regole fondamentali: il segno di $f$ cambia solo nei punti in cui:

• $f$ si annulla (zeri di $f$)
• $f$ non è definita (punti di discontinuità, asintoti verticali)

Negli intervalli tra questi punti, il segno rimane costante (si verifica con un punto di prova).

Calcolare i limiti agli estremi del dominio: punti di accumulazione che non appartengono al dominio (buchi, asintoti) e $\pm\infty$.

Asintoto verticale in $x=x_0$: si verifica quando $\lim_{x\to x_0^\pm}|f(x)|=+\infty$. Tipicamente dove il denominatore si annulla ma il numeratore no. Distinguere il comportamento da destra e da sinistra ($+\infty$ o $-\infty$).

Asintoto orizzontale $y=L$: $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ con $L$ finito. La curva si avvicina alla retta $y=L$ per valori grandi di $|x|$.

Asintoto obliquo $y=mx+q$: se il limite all'infinito non è finito ma la funzione cresce linearmente:

1. $m = \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ (deve esistere finito, $m\neq0$)
2. $q = \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-mx]$ (deve esistere finito)

Nota: un asintoto orizzontale e uno obliquo non possono coesistere dallo stesso lato ($+\infty$ o $-\infty$). Se $m=0$ si ha asintoto orizzontale, se $m\neq0$ si ha obliquo.

Calcolare $f'(x)$ e studiarne il segno per determinare la monotonia della funzione.

Regola di monotonia (conseguenza del teorema di Lagrange):

• $f'(x)>0$ su $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ è strettamente crescente su $[a,b]$
• $f'(x)<0$ su $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ è strettamente decrescente su $[a,b]$
• $f'(x)=0$ su $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ è costante su $[a,b]$

Punti critici: sono i punti $x_0$ in cui $f'(x_0)=0$ (tangente orizzontale) o $f'(x_0)$ non esiste. Non tutti i punti critici sono estremi locali!

Test del primo ordine (cambio di segno di $f'$):

• $f'$ cambia $+\to-$ in $x_0$ $\Rightarrow$ massimo locale
• $f'$ cambia $-\to+$ in $x_0$ $\Rightarrow$ minimo locale
• $f'$ non cambia segno $\Rightarrow$ flesso a tangente orizzontale (non è un estremo)

Test del secondo ordine (più rapido se $f''$ è facile da calcolare):

• $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)>0$ $\Rightarrow$ minimo locale
• $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)<0$ $\Rightarrow$ massimo locale
• $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)=0$ $\Rightarrow$ test non conclusivo (usare il primo ordine)

Calcolare $f''(x)$ e studiarne il segno per determinare la concavità.

Concavità:

• $f''(x)>0$ su $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ è convessa (concava verso l'alto, $\cup$): la curva sta sopra le sue tangenti, come una parabola $y=x^2$.
• $f''(x)<0$ su $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ è concava (concava verso il basso, $\cap$): la curva sta sotto le sue tangenti, come $y=-x^2$.

Punti di flesso: punti in cui la concavità cambia segno. In un flesso, la curva attraversa la propria tangente.

• Condizione necessaria: $f''(x_0)=0$ o $f''(x_0)$ non esiste
• Condizione sufficiente: $f''$ cambia segno in $x_0$ (da $+$ a $-$ o viceversa)
• Attenzione: $f''(x_0)=0$ non è sufficiente — verificare sempre il cambio di segno! Controesempio: $f(x)=x^4$ in $x=0$ ha $f''(0)=0$ ma non è un flesso.

Flesso orizzontale: $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)=0$ con cambio di concavità — la tangente è orizzontale ma non è né massimo né minimo (esempio: $f(x)=x^3$ in $x=0$).

Passo 8 — Tabella riassuntiva: raccogliere tutti i punti notevoli in ordine crescente di $x$ e costruire una tabella che riassuma il comportamento della funzione.

Colonne standard: $x$ (punti notevoli e intervalli), $f'$ (segno della derivata prima), $f$ (andamento: $\nearrow$ crescente, $\searrow$ decrescente, $M$ max, $m$ min, $\cup$ convessa, $\cap$ concava), $f''$ (segno della derivata seconda).

Passo 9 — Grafico qualitativo:

1. Disegnare gli asintoti (linee tratteggiate)
2. Segnare i punti notevoli calcolati (intersezioni con gli assi, massimi, minimi, flessi)
3. Tracciare la curva rispettando: segno (sopra/sotto asse $x$), monotonia (crescente/decrescente), concavità (convessa/concava), comportamento agli asintoti

Controlli finali:

• La curva si avvicina agli asintoti senza attraversarli?
• I massimi e minimi sono effettivamente punti di inversione della monotonia?
• La concavità è corretta in ogni intervallo?
• Il grafico è coerente con tutte le informazioni raccolte?