Integrali — Indefiniti e Definiti

Una funzione $F$ si dice primitiva (o antiderivata) di $f$ su un intervallo se $F'(x)=f(x)$ per ogni $x$ nell'intervallo. L'integrale indefinito $\int f(x),dx = F(x)+C$ rappresenta la famiglia di tutte le primitive ($C\in\mathbb{R}$ costante arbitraria). Due primitive della stessa funzione differiscono per una costante.

Integrali indefiniti fondamentali (da memorizzare):

• $\int x^n,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ per $n\neq-1$
• $\int \dfrac{1}{x},dx = \ln|x|+C$ (il valore assoluto estende il dominio a $x\neq0$)
• $\int e^x,dx = e^x+C$; $\int a^x,dx = a^x/\ln a + C$
• $\int \sin x,dx = -\cos x+C$; $\int \cos x,dx = \sin x+C$
• $\int \dfrac{1}{1+x^2},dx = \arctan x+C$; $\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},dx = \arcsin x+C$
• $\int \tan x,dx = -\ln|\cos x|+C$; $\int \cot x,dx = \ln|\sin x|+C$

Linearità: $\int(\alpha f+\beta g),dx = \alpha\int f,dx + \beta\int g,dx$.

Integrazione per parti: deriva dalla regola del prodotto per le derivate: $(uv)'=u'v+uv'$. Integrando: $\int u,dv = uv - \int v,du$. Scegliere $u$ e $dv$ in modo che $\int v,du$ sia più semplice dell'integrale originale. La regola LIATE suggerisce l'ordine di preferenza per $u$: Logaritmiche, Inverse trigonometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali.

Integrazione per sostituzione (cambio di variabile): poniamo $t=g(x)$, quindi $dt=g'(x)dx$. L'integrale diventa $\int f(g(x))g'(x),dx = \int f(t),dt$. Dopo aver integrato in $t$, si sostituisce $t=g(x)$. Utile quando l'integranda contiene una funzione composta e la sua derivata.

Decomposizione in frazioni parziali: per funzioni razionali $P(x)/Q(x)$ con $\deg P < \deg Q$, si fattorizza il denominatore e si decompone in frazioni semplici:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}, \qquad \frac{1}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Ogni termine può poi essere integrato con le formule fondamentali. Per denominatori di secondo grado irriducibili ($x^2+px+q$ con discriminante negativo), si completa il quadrato e si usa l'arcotangente.

L'integrale definito $\int_a^b f(x),dx$ è definito come il limite delle somme di Riemann:

$$\int_a^b f(x),dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.$$

Geometricamente, misura l'area con segno tra il grafico di $f$ e l'asse $x$ sull'intervallo $[a,b]$ (positiva dove $f>0$, negativa dove $f<0$).

Teorema Fondamentale del Calcolo (Prima parte — derivazione dell'integrale): se $f$ è continua su $[a,b]$, allora $F(x)=\int_a^x f(t),dt$ è derivabile e $F'(x)=f(x)$. Integrazione e derivazione sono operazioni inverse.

Teorema Fondamentale (Seconda parte — formula di Newton-Leibniz): se $F$ è una qualsiasi primitiva di $f$, allora $\int_a^b f(x),dx = F(b)-F(a)$. Questo riduce il calcolo degli integrali definiti alla ricerca di primitive.

Proprietà: linearità; additività sugli intervalli ($\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$); se $f\geq0$ allora $\int_a^b f \geq 0$; teorema della media integrale: $\exists,\xi\in(a,b)$ tale che $\int_a^b f,dx = f(\xi)(b-a)$.

Un integrale si dice improprio quando l'intervallo di integrazione è illimitato, oppure quando $f$ ha una singolarità (diventa infinita) in un punto dell'intervallo.

Intervallo illimitato: $\int_a^{+\infty} f(x),dx = \lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x),dx$. L'integrale converge se questo limite è finito.

Singolarità a un estremo: se $f$ ha un asintoto verticale in $b$, allora $\int_a^b f(x),dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f(x),dx$.

Esempi fondamentali:

• $\int_1^{+\infty} x^{-\alpha},dx = \dfrac{1}{\alpha-1}$ per $\alpha>1$; diverge per $\alpha\leq1$.
• $\int_0^1 x^{-\alpha},dx = \dfrac{1}{1-\alpha}$ per $\alpha<1$; diverge per $\alpha\geq1$.
• $\int_0^{+\infty} e^{-x},dx = 1$; $\int_0^{+\infty} e^{-x^2},dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ (integrale gaussiano).

Criterio del confronto: se $0\leq f(x)\leq g(x)$ e $\int g$ converge, allora $\int f$ converge; se $\int f$ diverge, allora $\int g$ diverge.