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Integrale indefinito — potenza e logaritmo

Calcola l'integrale indefinito ∫ (3x² + 2/x) dx.

Dati forniti

∫ (3x² + 2/x) dx

Passi

0 / 3

L'integrale di una somma è la somma degli integrali, quindi procedo termine a termine. Per la potenza uso ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1): quanto fa ∫3x² dx?
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Il termine 2/x è il caso speciale n = −1, dove la regola della potenza non vale (darebbe divisione per zero): l'integrale di 1/x è ln|x|. Quindi ∫(2/x)dx = 2ln|x|.
Sommo i due contributi e raccolgo le costanti in un'unica C (è un integrale indefinito): qual è la primitiva totale?

Svolgimento completo

L'integrale di una somma è la somma degli integrali, quindi procedo termine a termine. Per la potenza uso ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1): quanto fa ∫3x² dx?
$\int 3x^2\,dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} = x^3$
$\displaystyle\int 3x^2\,dx = 3\cdot\dfrac{x^3}{3} = x^3 + C_1$ . Usiamo $\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1)$ .
Il termine 2/x è il caso speciale n = −1, dove la regola della potenza non vale (darebbe divisione per zero): l'integrale di 1/x è ln|x|. Quindi ∫(2/x)dx = 2ln|x|.
$\int \dfrac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|$
$\displaystyle\int \dfrac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| + C_2$ . Usiamo $\int 1/x\,dx = \ln|x|$ .
Sommo i due contributi e raccolgo le costanti in un'unica C (è un integrale indefinito): qual è la primitiva totale?
$\int (3x^2 + 2/x)\,dx = x^3 + 2\ln|x| + C$
$\displaystyle\int (3x^2 + 2/x)\,dx = x^3 + 2\ln|x| + C$ . Si sommano i due contributi e si uniscono le costanti in un'unica $C$ .

Risultato:x³ + 2 ln|x| + C.

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