IntegraliMedia

Integrale definito — area sotto una curva

Calcola l'area sotto f(x) = x² + 1 nell'intervallo [0, 2].

Dati forniti

f(x) = x² + 1Intervallo [0, 2]

Passi

0 / 4

Per il teorema fondamentale del calcolo l'integrale definito si valuta tramite una primitiva. Prima quindi ne trovo una di f(x) = x² + 1.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Valuto la primitiva nell'estremo superiore dell'intervallo: F(2).
Valuto la primitiva nell'estremo inferiore: F(0).
Per il teorema fondamentale l'area vale F(b) − F(a): sottraggo i due valori della primitiva.

Svolgimento completo

Per il teorema fondamentale del calcolo l'integrale definito si valuta tramite una primitiva. Prima quindi ne trovo una di f(x) = x² + 1.
$F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x$
$F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x$ . Una primitiva di $f(x) = x^2 + 1$ è $F(x) = \frac{x^3}{3} + x$ .
Valuto la primitiva nell'estremo superiore dell'intervallo: F(2).
$F(2) = \dfrac{2^3}{3} + 2 = \dfrac{8}{3} + 2$
$F(2) = \dfrac{2^3}{3} + 2 = \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{8}{3} + \dfrac{6}{3} = \dfrac{14}{3} \approx \mathbf{4.667}$ .
Valuto la primitiva nell'estremo inferiore: F(0).
$F(0) = 0$
$F(0) = \dfrac{0^3}{3} + 0 = \mathbf{0}$ .
Per il teorema fondamentale l'area vale F(b) − F(a): sottraggo i due valori della primitiva.
$\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx = \dfrac{14}{3} - 0 = \dfrac{14}{3}$
$\displaystyle\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx = F(2) - F(0) = \frac{14}{3} - 0 = \mathbf{\frac{14}{3}} \approx 4.667$ .

Risultato:Area = 14/3 ≈ 4.667.

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