Fisica 2

La carica elettrica è una proprietà fondamentale della materia, al pari della massa. Esistono due tipi di carica, convenzionalmente chiamate positiva e negativa. La materia ordinaria è elettricamente neutra perché contiene lo stesso numero di protoni (carica $+e$) e di elettroni (carica $-e$).

La carica è quantizzata: la carica elementare $e = 1.602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$ è il quanto fondamentale. Ogni carica osservabile in natura è un multiplo intero di $e$. I quark possiedono carica frazionaria ($\pm e/3$, $\pm 2e/3$) ma non si osservano mai isolati a causa del confinamento cromatico.

La carica si conserva: in ogni processo fisico la carica totale di un sistema isolato rimane costante. Questo principio, insieme alla conservazione dell'energia e della quantità di moto, è alla base di tutte le reazioni elettromagnetiche.

Legge di Coulomb: $$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$ dove $k = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 8.99\times10^9\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}$ è la costante di Coulomb e $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ è la permittività dielettrica del vuoto. La forza è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. La direzione è lungo la congiungente: attrattiva per cariche di segno opposto, repulsiva per cariche di segno uguale. In forma vettoriale: $$\vec{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{r}_{12}$$ dove $\hat{r}_{12}$ è il versore che da $q_1$ punta a $q_2$.

Principio di sovrapposizione: quando sono presenti più di due cariche, la forza totale su una carica è la somma vettoriale delle forze esercitate da ciascuna delle altre cariche: $$\vec{F}_i = \sum_{j\neq i} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i q_j}{r_{ij}^2}\hat{r}_{ij}$$

Esempi reali:

• Elettricità statica: strofinando un pettine di plastica sui capelli, gli elettroni si trasferiscono creando uno squilibrio di carica — il pettine si carica negativamente e attrae i capelli.
• Fulmini: l'attrito tra cristalli di ghiaccio e idrometeore all'interno delle nubi temporalesche separa le cariche; l'enorme differenza di potenziale genera una scarica (fulmine).
• Acceleratori di particelle: utilizzano campi elettrici per accelerare fasci di particelle cariche sfruttando la forza di Coulomb.

Il campo elettrico $\vec{E}$ è una grandezza vettoriale che descrive l'influenza che una carica (o una distribuzione di cariche) esercita sullo spazio circostante. Si definisce come la forza per unità di carica di prova positiva: $$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}$$ Il campo elettrico è quindi indipendente dalla carica di prova e dipende solo dalla carica sorgente e dalla posizione.

Le linee di campo sono uno strumento visivo potente: partono dalle cariche positive e terminano su quelle negative. La loro densità indica l'intensità del campo. Le linee non si incrociano mai (il campo in un punto è unico). Il vettore $\vec{E}$ è sempre tangente alle linee di campo in ogni punto.

Campi notevoli (ottenuti per integrazione della legge di Coulomb o via Gauss):

• Filo infinito con densità lineare $\lambda$: $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$, diretto radialmente. Il campo decade come $1/r$, più lentamente di una carica puntiforme perché il filo è esteso.
• Piano infinito con densità superficiale $\sigma$: $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, campo uniforme e indipendente dalla distanza. Il campo è lo stesso ovunque — conseguenza della simmetria piana.
• Condensatore a facce piane parallele: $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$. La sovrapposizione dei campi delle due armature (con carica opposta) raddoppia il campo nella regione interna e lo annulla all'esterno.
• Sfera carica uniformemente (raggio $R$, carica totale $Q$): all'esterno ($r>R$) $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ (equivalente a una carica puntiforme); all'interno di un conduttore $E=0$; all'interno di una sfera dielettrica uniforme $E = \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ (cresce linearmente con $r$).

Principio di sovrapposizione per i campi: il campo totale in un punto è la somma vettoriale dei campi generati da ciascuna carica della distribuzione.

Applicazioni:

• Condensatori — immagazzinano energia nel campo elettrico tra le armature.
• Gabbia di Faraday — un conduttore cavo scherma il campo elettrico esterno ($E=0$ all'interno).
• Precipitatori elettrostatici — rimuovono particelle sospese dai gas di scarica ionizzandole e attirandole con campi elettrici.

Il potenziale elettrostatico $V$ è un campo scalare che semplifica notevolmente lo studio dei fenomeni elettrici rispetto al campo vettoriale $\vec{E}$. La differenza di potenziale tra due punti è il lavoro per unità di carica necessario per spostare una carica di prova da un punto all'altro: $$V(P) = -\int_\infty^P \vec{E}\cdot d\vec{l}$$ con la convenzione $V(\infty)=0$. Per una carica puntiforme $q$: $$V(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$ Il potenziale è positivo per $q>0$, negativo per $q<0$. Per una distribuzione di cariche, il potenziale totale è la somma (scalare) dei potenziali individuali — molto più semplice del campo vettoriale.

Relazione campo-potenziale: $$\vec{E} = -\nabla V$$ In coordinate cartesiane: $E_x = -\partial V/\partial x$, $E_y = -\partial V/\partial y$, $E_z = -\partial V/\partial z$. Il campo elettrico punta nella direzione di massima diminuzione del potenziale — le cariche positive "cadono" verso potenziali decrescenti.

Le superfici equipotenziali sono luoghi a potenziale costante. Sono sempre perpendicolari alle linee di campo. Spostarsi lungo una superficie equipotenziale non richiede lavoro.

Dipolo elettrico: due cariche $\pm q$ separate da una distanza $d$ formano un dipolo con momento di dipolo $\vec{p} = q\vec{d}$ (diretto da $-q$ verso $+q$). Il potenziale in un punto a distanza $r$ (con $r\gg d$) è: $$V_{dip} = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$ mentre il campo elettrico decade come $1/r^3$, più rapidamente della carica puntiforme.

Applicazioni:

• Molecole polari (acqua, HCl) — possiedono un momento di dipolo permanente e si allineano ai campi elettrici esterni.
• Elettrocardiografia — il cuore genera un segnale elettrico che può essere modellato come un dipolo variabile nel tempo.
• Dielettroforesi — manipolazione di particelle neutre mediante campi elettrici non uniformi.

La legge di Gauss stabilisce una relazione fondamentale tra il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa e la carica in essa contenuta: $$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$$ Il flusso elettrico $\Phi_E = \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A}$ misura quante linee di campo "attraversano" la superficie.

Intuizione fisica: se la superficie chiusa contiene cariche nette positive, il flusso totale è uscente (le linee di campo "escono" dalla superficie). Se contiene cariche nette negative, il flusso è entrante. Se $Q_{int}=0$, il flusso è nullo — tante linee entrano quante ne escono.

La legge di Gauss è particolarmente utile per calcolare il campo elettrico in presenza di simmetrie (sferica, cilindrica, piana): si sceglie una superficie gaussiana che sfrutti la simmetria del sistema, si calcola il flusso e si ricava $E$.

Forma differenziale: applicando il teorema della divergenza si ottiene: $$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ che esprime localmente la relazione tra campo e densità di carica. Combinandola con $\vec{E} = -\nabla V$ si ricava l'equazione di Poisson: $$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ In regioni senza carica ($\rho=0$) si riduce all'equazione di Laplace $\nabla^2 V = 0$.

Applicazioni:

• Gabbia di Faraday — in un conduttore cavo il campo all'interno è nullo, schermando le cariche esterne.
• Cavi coassiali — il campo tra conduttore interno e calza esterna si calcola facilmente con Gauss.
• Microscopia a forza atomica — misura le forze elettrostatiche tra sonda e campione.

Un conduttore in equilibrio elettrostatico presenta le seguenti proprietà fondamentali:

• $\vec{E} = 0$ ovunque all'interno — se ci fosse un campo, le cariche libere si muoverebbero fino a schermarlo.
• Ogni carica in eccesso risiede sulla superficie.
• Il conduttore è equipotenziale: $V = \text{costante}$ in tutto il volume e sulla superficie.
• Il campo sulla superficie è perpendicolare e vale $E = \sigma/\varepsilon_0$, dove $\sigma$ è la densità superficiale locale.

Capacità elettrica: la capacità $C = Q/V$ misura la quantità di carica che un conduttore può immagazzinare a un dato potenziale. Dipende solo dalla geometria.

Per un condensatore piano a facce parallele (area $A$, distanza $d$): $$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$$ La capacità aumenta con l'area delle armature e diminuisce con la distanza.

Energia elettrostatica immagazzinata in un condensatore: $$U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$$ Questa energia è il lavoro speso per caricare il condensatore, trasferendo carica da un'armatura all'altra.

Densità di energia del campo elettrico: $$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$$ L'energia non è "concentrata sulle armature" ma è distribuita in tutto lo spazio dove esiste il campo elettrico. Questa visione locale è fondamentale in elettrodinamica.

Applicazioni:

• Flash fotografico — un condensatore si carica lentamente e si scarica rapidamente sulla lampada al neon.
• DRAM — ogni cella di memoria è un minuscolo condensatore che immagazzina un bit.
• Defibrillatori — scaricano una grande energia in un breve impulso per rianimare il cuore.
• Filtri e temporizzatori nei circuiti elettronici.

Un dielettrico è un materiale isolante che, posto in un campo elettrico esterno, si polarizza: le cariche legate (elettroni e nuclei) si spostano leggermente, creando un campo di polarizzazione che si oppone al campo esterno. Il risultato è una riduzione del campo netto all'interno del materiale.

Campo di spostamento elettrico: per descrivere il campo in presenza di dielettrici si introduce il vettore $\vec{D}$ (detto anche induzione dielettrica): $$\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}$$ Il campo $\vec{D}$ tiene conto solo delle cariche libere (non di polarizzazione): $$\nabla\cdot\vec{D} = \rho_{lib}$$ dove $\rho_{lib}$ è la densità di carica libera.

Costante dielettrica relativa $\varepsilon_r$: misura quanto il materiale riduce il campo elettrico rispetto al vuoto. $\varepsilon_r > 1$ per tutti i materiali:

• Aria: $\varepsilon_r \approx 1.0006$
• Silice (SiO₂): $\varepsilon_r \approx 3.9$
• Acqua: $\varepsilon_r \approx 80$ (l'acqua è un eccellente solvente perché scherma fortemente le cariche elettriche)
• Titanato di stronzio: $\varepsilon_r \approx 300$

Condensatore con dielettrico: inserendo un dielettrico tra le armature, la capacità aumenta di un fattore $\varepsilon_r$: $$C_{diel} = \varepsilon_r C_0$$ Poiché $C = Q/V$, a parità di carica la tensione diminuisce (o a parità di tensione si immagazzina più carica).

Rigidità dielettrica: è il campo elettrico massimo che un materiale può sopportare prima di diventare conduttivo (rottura dielettrica). Esempi: aria $\sim 3\,\mathrm{MV/m}$, mica $\sim 100\,\mathrm{MV/m}$, olio per trasformatori $\sim 15\,\mathrm{MV/m}$.

Applicazioni:

• Condensatori elettrolitici — usano un sottile strato di ossido come dielettrico per ottenere capacità elevate.
• Transistor moderni — utilizzano materiali high-k (hafnio, zirconio) come dielettrico di gate per ridurre le correnti di dispersione.
• Olio dielettrico — nei trasformatori come isolante e refrigerante.
• Microonde — il forno a microonde riscalda l'acqua (dipolo polare) per rotazione molecolare indotta dal campo elettrico oscillante.