Ottica — Interferenza, Diffrazione e Ottica Geometrica

L'interferenza è il fenomeno per cui due o più onde elettromagnetiche provenienti da sorgenti coerenti (stessa frequenza e fase relativa costante) si sovrappongono producendo un pattern di intensità che non è la semplice somma delle singole intensità. In alcuni punti le onde si sommano costruttivamente (frangia luminosa), in altri si cancellano (frangia scura).

La differenza di cammino ottico $\Delta r$ tra due raggi determina la differenza di fase all'arrivo. Condizione per:

• Massimo (costruttiva): $\Delta r = m\lambda$ con $m=0,\pm1,\pm2,\ldots$ — le creste coincidono
• Minimo (distruttiva): $\Delta r = (m+\tfrac{1}{2})\lambda$ — cresta incontra ventre

Esperimento di Young (doppia fenditura separate da $d$, schermo a distanza $L \gg d$): Per piccoli angoli ($\sin\theta \approx \tan\theta = y/L$), la differenza di cammino è $\Delta r = d\sin\theta \approx d,y/L$. I massimi si trovano in posizioni: $$y_m = \frac{m\lambda L}{d} \quad (\text{massimi})$$ Le frange sono equispaziate con distanza inter-frange $\Delta y = \lambda L / d$.

Lamine sottili: quando la luce incide su una lamina di spessore $t$ e indice $n$, parte del fascio si riflette sulla prima superficie e parte sulla seconda. La differenza di cammino è $2nt$. Inoltre, la riflessione su un'interfaccia da mezzo meno rifrangente a più rifrangente introduce uno sfasamento di $\pi$ ($\lambda/2$). Ne consegue:
Riflessione minima (antiriflesso): $2nt = m\lambda$
Riflessione massima: $2nt = (m+\tfrac12)\lambda$

Applicazioni reali: rivestimenti antiriflesso su lenti di occhiali e fotocamere, bolle di sapone e macchie d'olio sull'acqua (colori per interferenza), filtri interferenziali, lettori CD/DVD.

La diffrazione è la deviazione delle onde dalla propagazione rettilinea quando incontrano un ostacolo o un'apertura. Il caso più semplice è la diffrazione di Fraunhofer (campo lontano, onde piane) da una singola fenditura di larghezza $a$.

Ogni punto della fenditura si comporta come una sorgente di onde secondarie (principio di Huygens-Fresnel). L'interferenza tra tutte queste sorgenti produce un pattern di intensità: $$I(\theta) = I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2,\quad \alpha = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$ L'inviluppo centrale (massimo principale) è largo il doppio dei massimi secondari. I minimi si hanno quando il numeratore si annulla ($\sin\alpha = 0$ con $\alpha \neq 0$): $$a\sin\theta = m\lambda \quad (m = \pm1, \pm2, \ldots)$$

Criterio di Rayleigh: due sorgenti puntiformi sono risolte (distinguibili) quando il massimo centrale di una cade sul primo minimo dell'altra: $$\theta_{min} = 1.22\frac{\lambda}{D}$$ dove $D$ è il diametro dell'apertura (es. pupilla dell'occhio o obiettivo di un telescopio).

Applicazioni reali: limiti di risoluzione di telescopi e microscopi, apertura numerica di fibre ottiche, diffrazione di raggi X da cristalli, fotografia (effetto del diaframma).

Un reticolo di diffrazione è un insieme periodico di $N$ fenditure parallele con passo $d$ (distanza tra fenditure adiacenti). Combina l'interferenza di $N$ sorgenti con la diffrazione di ogni singola fenditura.

I massimi principali si verificano quando la differenza di cammino tra fenditure adiacenti è un multiplo intero di $\lambda$: $$d\sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, \pm1, \pm2, \ldots)$$ All'aumentare di $N$ i massimi diventano più stretti e intensi, e compaiono $N-2$ massimi secondari trascurabili tra due massimi principali.

Potere risolutivo: capacità di distinguere due lunghezze d'onda vicine: $$\mathcal{R} = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = mN$$ Un reticolo con $N$ grande permette di separare righe spettrali molto vicine.

Legge di Bragg: per la diffrazione di raggi X da un cristallo (reticolo tridimensionale con piani distanti $d$): $$2d\sin\theta = m\lambda$$ dove $\theta$ è l'angolo di incidenza rispetto ai piani cristallini.

Applicazioni reali: spettroscopia ottica (analisi chimica), reticoli di Bragg in fibre ottiche (sensori di deformazione e temperatura), diffrazione di raggi X per determinare strutture cristalline (DNA, proteine), CD/DVD come reticoli di diffrazione.

L'ottica geometrica descrive la propagazione della luce in termini di raggi rettilinei, trascurando gli effetti di diffrazione. È valida quando le dimensioni degli ostacoli sono molto maggiori della lunghezza d'onda.

Specchi sferici: per uno specchio sferico di raggio di curvatura $R$, la distanza focale è $f = R/2$ (specchio concavo: $f>0$; convesso: $f<0$). L'equazione dei punti coniugati lega distanza oggetto $p$ e distanza immagine $q$: $$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f} = \frac{2}{R}$$ L'ingrandimento trasversale è $m = -q/p$ (negativo: immagine invertita; $|m|>1$: ingrandita).

Lenti sottili: l'equazione del costruttore di lenti (lensmaker) lega la distanza focale $f$ ai raggi di curvatura $R_1, R_2$ e all'indice di rifrazione $n$ del materiale: $$\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$ Per una lente in aria, $R_1>0$ se la prima superficie è convessa, $R_2<0$ se la seconda è concava. L'equazione dei punti coniugati è identica a quella degli specchi: $1/p + 1/q = 1/f$. Lenti convergenti ($f>0$) focalizzano raggi paralleli; divergenti ($f<0$) li allargano.

Applicazioni reali: occhiali da vista e lenti a contatto, microscopi e telescopi, fotocamere e videoproiettori, fibre ottiche (guida d'onda per riflessione totale), specchi parabolici per antenne e fari.