Onde Elettromagnetiche

Le equazioni di Maxwell nel vuoto ($\rho=0$, $\vec{J}=0$) prevedono l'esistenza di onde elettromagnetiche: perturbazioni dei campi $\vec{E}$ e $\vec{B}$ che si propagano nello spazio. Hertz le generò sperimentalmente nel 1887, confermando la teoria di Maxwell e aprendo la strada alla radio.

Deduzione dell'equazione d'onda

Combinando le equazioni di Maxwell nel vuoto si ottiene: $$\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} = c^2\nabla^2\vec{E}$$ Questa è l'equazione d'onda tridimensionale, dove: $$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 2.998\times10^8\,\mathrm{m/s}$$ La stessa equazione vale per $\vec{B}$. La velocità di propagazione $c$ è una costante universale, indipendente dal sistema di riferimento.

Intuizione: Le equazioni di Maxwell mostrano che un campo elettrico variabile genera un campo magnetico (corrente di spostamento) e un campo magnetico variabile genera un campo elettrico (Faraday). Questa "catena" di induzioni reciproche si sostiene da sola: una perturbazione iniziale si propaga come un'onda, senza bisogno di un mezzo materiale (a differenza del suono). L'onda EM è autosostenuta: l'energia oscilla tra i due campi.

Onda piana armonica

La soluzione più semplice è l'onda piana monocromatica che si propaga lungo l'asse $x$: $$\vec{E} = E_0\cos(kx-\omega t)\hat{y},\qquad \vec{B} = \frac{E_0}{c}\cos(kx-\omega t)\hat{z}$$ dove $k = 2\pi/\lambda$ è il numero d'onda e $\omega = 2\pi f$ è la pulsazione.

Proprietà fondamentali:

• Trasversalità: $\vec{E}$ e $\vec{B}$ sono perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione ($\vec{k}$). L'onda è trasversale.
• Rapporto costante: $|\vec{E}|/|\vec{B}| = c$ in qualsiasi punto e istante.
• Fase identica: $\vec{E}$ e $\vec{B}$ oscillano in fase: raggiungono massimo, zero e minimo simultaneamente.

Relazione di dispersione nel vuoto: $\omega = ck$. Nel vuoto non c'è dispersione: tutte le frequenze viaggiano alla stessa velocità $c$.

Applicazioni

• Comunicazioni wireless: Antenne trasmittenti generano onde EM modulate (AM, FM, Wi-Fi, 4G/5G) che viaggiano a $c$ e vengono ricevute da antenne riceventi.
• Radar: Impulsi di microonde vengono riflessi da oggetti distanti; il tempo di andata-ritorno misura la distanza.
• Astronomia: I telescopi radio captano onde EM da stelle, galassie e pulsar, rivelando l'universo invisibile.

Le onde EM trasportano energia, quantità di moto (momento) e possono assumere diversi stati di polarizzazione.

Polarizzazione

La polarizzazione descrive l'orientamento nel tempo del vettore $\vec{E}$ in un punto fisso dello spazio:

• Lineare: $\vec{E}$ oscilla sempre lungo una direzione fissa. Si ottiene facendo passare luce non polarizzata attraverso un polaroid (filtro polarizzatore).
• Circolare: $\vec{E}$ ruota con ampiezza costante, descrivendo un'elica nello spazio. Due componenti perpendicolari sfasate di $90°$ producono polarizzazione circolare (destrorsa o sinistrorsa).
• Ellittica: Il caso generale, con ampiezza variabile durante la rotazione. Ogni stato di polarizzazione può essere descritto come combinazione di due polarizzazioni lineari ortogonali.

Intuizione: La polarizzazione è analoga alla direzione di oscillazione di una corda tesa: se la corda oscilla in verticale, è polarizzazione lineare verticale; se descrive un cerchio, è polarizzazione circolare. Per la luce, la polarizzazione è alla base degli schermi LCD, degli occhiali 3D e della riduzione dei riflessi. La legge di Malus stabilisce che l'intensità trasmessa attraverso un polarizzatore rotato di $\theta$ è $I = I_0\cos^2\theta$.

Vettore di Poynting ed energia

Il vettore di Poynting rappresenta il flusso di energia trasportato dall'onda (potenza per unità di area): $$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}$$ La direzione di $\vec{S}$ è la direzione di propagazione dell'energia. Per un'onda piana: $|\vec{S}| = E^2/(\mu_0 c) = c\varepsilon_0 E^2$.

L'intensità media (potenza media per unità di area) è: $$I = \langle S\rangle = \frac{c\varepsilon_0 E_0^2}{2}$$

Esempio: La luce solare sulla Terra ha $I \approx 1361\,W/m^2$ (costante solare). Questo valore determina il clima terrestre e la potenza disponibile per i pannelli fotovoltaici.

Pressione di radiazione

Le onde EM trasportano anche momento lineare. Quando un'onda viene assorbita o riflessa da una superficie, esercita una pressione di radiazione: $$P_{rad} = \frac{I}{c}\quad\text{(assorbimento)},\qquad P_{rad} = \frac{2I}{c}\quad\text{(riflessione totale)}$$

Applicazioni:

• Vele solari: Sono missioni spaziali (es. LightSail di The Planetary Society) che usano enormi vele per essere spinte dalla pressione della radiazione solare, senza carburante.
• Pinzette ottiche: Laser focalizzati usano la pressione di radiazione per intrappolare e manipolare particelle microscopiche (vincitori Nobel 2018: Ashkin, Mourou, Strickland).

Quando un'onda EM si propaga in un mezzo materiale, la sua velocità è ridotta rispetto al vuoto. L'interazione con il mezzo è descritta dall'indice di rifrazione.

Velocità e indice di rifrazione

In un mezzo con permittività relativa $\varepsilon_r$ e permeabilità relativa $\mu_r$: $$v = \frac{c}{n},\qquad n = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$$ Per la maggior parte dei materiali trasparenti, $\mu_r \approx 1$ e $n \approx \sqrt{\varepsilon_r}$. L'indice di rifrazione dipende debolmente dalla frequenza (dispersione cromatica), causando la separazione della luce bianca in un prisma.

Leggi di riflessione e rifrazione

Quando un'onda incontra l'interfaccia tra due mezzi, parte viene riflessa e parte trasmessa (rifratta):

• Riflessione: $\theta_i = \theta_r$ — l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione.
• Rifrazione (Snell): $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$ — il raggio si avvicina alla normale quando entra in un mezzo più denso ($n_2 > n_1$).

Intuizione: La rifrazione è analoga a un carrello che passa dall'asfalto alla sabbia: una ruota rallenta prima dell'altra, facendo ruotare il carrello. Allo stesso modo, il fronte d'onda ruota quando la velocità cambia al confine tra due mezzi.

Angolo critico e riflessione totale

Quando la luce passa da un mezzo più denso a uno meno denso ($n_1 > n_2$), esiste un angolo critico oltre il quale non c'è rifrazione: $$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$ Oltre $\theta_c$, tutta l'energia è riflessa internamente: è la riflessione totale interna, principio delle fibre ottiche.

Equazioni di Fresnel

Le equazioni di Fresnel determinano le ampiezze delle onde riflessa e trasmessa in funzione dell'angolo di incidenza e della polarizzazione. Per incidenza normale, il coefficiente di riflessione è: $$R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2$$ L'angolo di Brewster $\theta_B = \arctan(n_2/n_1)$ è l'angolo al quale la luce riflessa è completamente polarizzata (componente parallela al piano di incidenza nulla).

Applicazioni

• Fibre ottiche: Sottilissimi fili di vetro (diametro ~10 $\mu$m) guidano la luce per riflessione totale interna, trasmettendo dati a velocità enormi (fibra fino a 100 Gbps e oltre).
• Lenti e strumenti ottici: Occhiali, microscopi, telescopi sfruttano la rifrazione per focalizzare la luce.
• Rivestimenti antiriflesso: Strati sottili con indice intermedio riducono i riflessi (equazioni di Fresnel).
• Occhiali polarizzati: Sfruttano l'angolo di Brewster per ridurre i riflessi molesti dell'acqua o dell'asfalto.

Le onde EM coprono uno spettro enorme di frequenze e lunghezze d'onda, dalla radio ai raggi gamma. La velocità nel vuoto è costante: $c = \lambda f$, quindi $\lambda \propto 1/f$.

Spettro elettromagnetico

Ecco le bande principali in ordine crescente di frequenza:

• Onde radio ($f \sim 10^4$–$10^9\,Hz$, $\lambda \sim 1\,km$–$1\,m$): Usate per comunicazioni AM/FM, TV, Wi-Fi, Bluetooth.
• Microonde ($f \sim 10^9$–$10^{11}\,Hz$, $\lambda \sim 30\,cm$–$1\,mm$): Forni a microonde, radar, Wi-Fi, comunicazioni satellitari. La frequenza di ~2.45 GHz risuona con le molecole d'acqua, riscaldando il cibo.
• Infrarosso ($f \sim 10^{11}$–$4\times10^{14}\,Hz$, $\lambda \sim 1\,mm$–$700\,nm$): Radiazione termica emessa da corpi caldi. Telecamere termiche, telecomandi, riscaldamento a infrarossi.
• Luce visibile ($f \sim 4$–$7.5\times10^{14}\,Hz$, $\lambda \sim 700$–$400\,nm$): L'unica radiazione EM che i nostri occhi possono rilevare. Colori dal rosso (lunghezza d'onda maggiore) al violetto.
• Ultravioletto ($f \sim 7.5\times10^{14}$–$10^{16}\,Hz$, $\lambda \sim 400$–$10\,nm$): Causa scottature e sintesi della vitamina D. Usato per sterilizzazione e identificazione di minerali.
• Raggi X ($f \sim 10^{16}$–$10^{19}\,Hz$, $\lambda \sim 10$–$0.01\,nm$): Penetrano i tessuti molli ma non le ossa; essenziali in radiologia medica (diagnostica per immagini).
• Raggi gamma ($f > 10^{19}\,Hz$, $\lambda < 0.01\,nm$): Prodotti da decadimenti nucleari e fenomeni astrofisici (supernovae, raggi cosmici). Usati in radioterapia e sterilizzazione.

Nota: Non c'è un confine netto tra le bande; lo spettro è continuo. La differenza fondamentale tra le bande sta solo nella frequenza (e quindi nell'energia dei fotoni: $E = hf$).

Onde EM nei conduttori e skin effect

Quando un'onda EM penetra in un conduttore, le correnti indotte la attenuano esponenzialmente. La profondità di penetrazione (skin depth) misura quanto l'onda penetra prima di attenuarsi a $1/e$ del valore superficiale: $$\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0\mu_r\sigma\omega}}$$ Dove $\sigma$ è la conducibilità del materiale.

Esempi:

• Rame a 60 Hz (frequenza rete elettrica): $\delta \approx 8.5\,mm$. I cavi di potenza usano conduttori massicci.
• Rame a 1 GHz (microonde): $\delta \approx 2\, \mu m$. Per questo i circuiti ad alta frequenza usano piste sottili e schermatura metallica.

Applicazioni dello skin effect:

• Schermatura elettromagnetica: Un sottile strato di metallo blocca le onde EM (gabbia di Faraday). Cellulari, forni a microonde, sale schermate per apparecchiature sensibili.
• Cavi coassiali: Usano una maglia di schermatura per confinare il segnale e ridurre le interferenze.
• Riscaldamento a induzione: Correnti ad alta frequenza scorrono sulla superficie dei metalli, riscaldandoli per tempra superficiale.