Fisica Moderna — Quantistica e Stato Solido

Tutti i corpi con temperatura $T > 0$ emettono radiazione termica (radiazione di corpo nero). La potenza irradiata e la distribuzione spettrale dipendono fortemente dalla temperatura.

Legge di Stefan-Boltzmann: la potenza totale emessa per unità di superficie è proporzionale a $T^4$: $$P = \sigma T^4 A, \qquad \sigma = 5.67\times10^{-8},\mathrm{W/(m^2 K^4)}$$ Raddoppiando la temperatura, la potenza irradiata aumenta di un fattore 16.

Legge di Wien: la lunghezza d'onda del picco di emissione è inversamente proporzionale a $T$: $$\lambda_{max}, T = 2.898\times10^{-3},\mathrm{m\cdot K}$$ I corpi più caldi appaiono più "blu" (picco a $\lambda$ più corta); quelli più freddi più "rossi".

Ipotesi di Planck (1900): per spiegare lo spettro del corpo nero, Planck propose che l'energia degli oscillatori atomici fosse quantizzata, cioè potesse assumere solo valori discreti multipli di un quanto fondamentale: $$E = h\nu, \qquad h = 6.626\times10^{-34},\mathrm{J\cdot s}$$ Questa ipotesi radicale segnò l'inizio della fisica quantistica, introducendo la costante $h$ oggi chiamata costante di Planck.

Applicazioni reali: termocamere a infrarossi, lampade a incandescenza, stima della temperatura delle stelle, forni a microonde, cosmologia (radiazione cosmica di fondo a 2.7 K).

Effetto fotoelettrico (Einstein, 1905): quando la luce incide su una superficie metallica, gli elettroni possono essere emessi se la frequenza della luce supera una soglia caratteristica del materiale. Einstein interpretò il fenomeno postulando che la luce sia composta da fotoni, ciascuno di energia $E = h\nu$. L'energia del fotone viene trasferita interamente a un elettrone, che deve prima superare la funzione lavoro $\phi$ (energia di estrazione) prima di acquistare energia cinetica: $$KE_{max} = h\nu - \phi$$ La frequenza di soglia è $\nu_0 = \phi/h$: al di sotto, nessun elettrone viene emesso, indipendentemente dall'intensità della luce.

Effetto Compton (1923): un fotone diffonde inelastico da un elettrone libero, cedendogli parte della sua energia. La lunghezza d'onda del fotone dopo l'urto è maggiore di quella iniziale: $$\Delta\lambda = \lambda_C (1-\cos\theta), \qquad \lambda_C = \frac{h}{m_e c} = 2.426\times10^{-12},\mathrm{m}$$ dove $\lambda_C$ è la lunghezza d'onda Compton dell'elettrone e $\theta$ è l'angolo di diffusione.

Proprietà del fotone: energia $E = h\nu$, quantità di moto $p = h/\lambda$. Il fotone si comporta come una particella pur essendo un'onda elettromagnetica — prima evidenza della dualità onda-corpuscolo.

Applicazioni reali: celle solari (pannelli fotovoltaici), fotodiodi e fotomoltiplicatori, sensori di luce, spettroscopia fotoelettronica (XPS, UPS), imaging medico (Compton scattering per tomografia).

Ipotesi di de Broglie (1924): se la luce, che è un'onda, mostra comportamento corpuscolare (fotoni), allora anche le particelle con massa, come gli elettroni, possono mostrare comportamento ondulatorio. A ogni particella con quantità di moto $p$ è associata una lunghezza d'onda di de Broglie: $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$ Per un elettrone accelerato a $100,\mathrm{eV}$, $\lambda \approx 0.12,\mathrm{nm}$, comparabile alle distanze interatomiche nei cristalli — e infatti la diffrazione di elettroni da cristalli fu osservata sperimentalmente da Davisson e Germer (1927), confermando l'ipotesi.

Principio di indeterminazione di Heisenberg (1927): esistono coppie di grandezze fisiche (dette complementari) che non possono essere misurate simultaneamente con precisione arbitraria. Le più importanti: $$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}, \qquad \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$$ dove $\hbar = h/(2\pi) = 1.055\times10^{-34},\mathrm{J\cdot s}$ è la costante di Planck ridotta. La prima relazione dice che se localizziamo una particella con precisione $\Delta x$, la sua quantità di moto è incerta almeno di $\hbar/(2\Delta x)$. La seconda implica che l'energia di uno stato può fluttuare di $\Delta E$ per un tempo $\Delta t \sim \hbar/(2\Delta E)$.

Applicazioni reali: microscopio elettronico (sfrutta la lunghezza d'onda corta degli elettroni per alta risoluzione), tunnel effect (base del microscopio STM e dei transistor flash), processori quantistici.

Il modello atomico di Bohr (1913) combina l'idea dei livelli energetici quantizzati con la fisica classica del moto orbitale. L'elettrone nell'atomo di idrogeno può occupare solo orbite con momento angolare quantizzato $L = n\hbar$, cui corrispondono energie discrete: $$E_n = -\frac{13.6,\mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$ Lo stato $n=1$ è lo stato fondamentale (energia più bassa); gli stati $n>1$ sono stati eccitati.

Quando un elettrone transita da un livello $n_i$ a uno $n_f$ con $n_i > n_f$, emette un fotone di energia pari alla differenza: $$h\nu = E_{n_i} - E_{n_f}$$ La lunghezza d'onda della radiazione emessa segue la formula di Rydberg: $$\frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right), \qquad R_H = 1.097\times10^7,\mathrm{m^{-1}}$$ Le principali serie spettrali dell'idrogeno sono: Lyman ($n_f=1$, ultravioletto), Balmer ($n_f=2$, visibile), Paschen ($n_f=3$, infrarosso).

Applicazioni reali: spettroscopia atomica per identificare elementi (impronte digitali spettrali), laser (inversioni di popolazione tra livelli energetici), lampade a vapore di sodio e mercurio, astronomia (composizione chimica delle stelle).

Quando gli atomi si avvicinano per formare un solido, i loro livelli energetici discreti si allargano in bande a causa dell'interazione tra atomi vicini. Le bande sono separate da regioni di energia proibita chiamate gap o band gap $E_g$. La struttura a bande determina le proprietà elettriche del materiale.

• Metalli: la banda di valenza è parzialmente piena o si sovrappone alla banda di conduzione. Gli elettroni si muovono liberamente, conducibilità molto alta. Esempi: Cu, Ag, Au.
• Isolanti: $E_g > 5,\mathrm{eV}$. La banda di valenza è piena e la banda di conduzione è vuota; i salti energetici necessari per passare dall'una all'altra sono troppo grandi per l'agitazione termica. Esempi: diamante ($E_g \approx 5.5,\mathrm{eV}$), quarzo.
• Semiconduttori: $E_g$ è abbastanza piccolo ($\lesssim 2,\mathrm{eV}$) da permettere a una frazione di elettroni di passare in banda di conduzione per eccitazione termica. I più importanti: Si ($E_g=1.1,\mathrm{eV}$), Ge ($0.67,\mathrm{eV}$), GaAs ($1.42,\mathrm{eV}$).

Drogaggio (doping): l'aggiunta controllata di impurità modifica drasticamente la conducibilità. Il tipo-n (donori, es. P nel Si) introduce elettroni extra nella banda di conduzione; il tipo-p (accettori, es. B nel Si) crea "lacune" (mancanza di elettroni) nella banda di valenza.

La giunzione p-n è l'elemento base dell'elettronica a stato solido: permette il flusso di corrente in una sola direzione (raddrizzamento). È il cuore di diodi, transistor, LED, celle solari e circuiti integrati.

Applicazioni reali: microprocessori (milioni di transistor in un chip), pannelli solari fotovoltaici, illuminazione a LED, sensori di immagine (CCD, CMOS), memorie flash, termistori (sensori di temperatura).