Uningenia
Inizia a studiareInizia
Fisica ModernaDifficile

Dualità onda-corpuscolo — de Broglie e Bohr

(a) Un elettrone viene accelerato da V = 1000 V. Calcola la lunghezza d'onda di de Broglie. (b) Per l'idrogeno, calcola il raggio della 2° orbita di Bohr e l'energia del livello n=2.
Dati forniti
V = 1000 Vmₑ = 9.109×10⁻³¹ kge = 1.602×10⁻¹⁹ Ch = 6.626×10⁻³⁴ J·sa₀ = 0.0529 nm (raggio di Bohr)
Ripassa la teoria: Fisica Moderna
Passi
0 / 4
  1. Accelerando nel campo, l'elettrone guadagna energia cinetica pari al lavoro elettrico eV. Da ½mₑv² = eV ricavo la velocità.
  2. Secondo de Broglie a ogni particella con quantità di moto p è associata un'onda di lunghezza λ = h/p = h/(mₑv): è la dualità onda-corpuscolo. Uso la v trovata prima.
  3. Nel modello di Bohr solo certe orbite sono permesse e i loro raggi crescono col quadrato di n: rₙ = n²·a₀, con a₀ il raggio di Bohr (1° orbita). Per n = 2 → r₂ = 4a₀.
  4. I livelli energetici dell'idrogeno sono quantizzati: Eₙ = −13.6/n² eV. Il segno negativo indica uno stato legato (serve fornire energia per ionizzare l'atomo).
Svolgimento completo
  1. Accelerando nel campo, l'elettrone guadagna energia cinetica pari al lavoro elettrico eV. Da ½mₑv² = eV ricavo la velocità.
    eV=12mev2⇒v=2eVme=2⋅1.602×10−19⋅10009.109×10−31eV = \tfrac{1}{2}m_e v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2eV}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1.602\times10^{-19} \cdot 1000}{9.109\times10^{-31}}}
    v=2eVme=2⋅1.602×10−19⋅10009.109×10−31=3.204×10−169.109×10−31=3.518×1014≈1.876×107 m/sv = \sqrt{\dfrac{2eV}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1.602\times10^{-19} \cdot 1000}{9.109\times10^{-31}}} = \sqrt{\dfrac{3.204\times10^{-16}}{9.109\times10^{-31}}} = \sqrt{3.518\times10^{14}} \approx \mathbf{1.876\times10^{7}\,m/s}, circa il 6.3%6.3\% della velocità della luce.
  2. Secondo de Broglie a ogni particella con quantità di moto p è associata un'onda di lunghezza λ = h/p = h/(mₑv): è la dualità onda-corpuscolo. Uso la v trovata prima.
    λ=hmev=6.626×10−349.109×10−31⋅1.876×107\lambda = \dfrac{h}{m_e v} = \dfrac{6.626\times10^{-34}}{9.109\times10^{-31} \cdot 1.876\times10^7}
    λ=hmev=6.626×10−349.109×10−31⋅1.876×107=6.626×10−341.709×10−23≈3.876×10−11=38.76 pm\lambda = \dfrac{h}{m_e v} = \dfrac{6.626\times10^{-34}}{9.109\times10^{-31} \cdot 1.876\times10^{7}} = \dfrac{6.626\times10^{-34}}{1.709\times10^{-23}} \approx 3.876\times10^{-11} = \mathbf{38.76\,pm}. Lunghezza d'onda nella scala dei raggi X!
  3. Nel modello di Bohr solo certe orbite sono permesse e i loro raggi crescono col quadrato di n: rₙ = n²·a₀, con a₀ il raggio di Bohr (1° orbita). Per n = 2 → r₂ = 4a₀.
    rn=n2a0⇒r2=4⋅52.9 pmr_n = n^2 a_0 \Rightarrow r_2 = 4 \cdot 52.9\,\mathrm{pm}
    rn=n2a0  ⇒  r2=4⋅52.9 pm=211.6 pmr_n = n^2 a_0 \;\Rightarrow\; r_2 = 4 \cdot 52.9\,\mathrm{pm} = \mathbf{211.6\,pm}. La seconda orbita di Bohr è 44 volte più grande della prima.
  4. I livelli energetici dell'idrogeno sono quantizzati: Eₙ = −13.6/n² eV. Il segno negativo indica uno stato legato (serve fornire energia per ionizzare l'atomo).
    En=−13.6n2 eV⇒E2=−13.64E_n = -\dfrac{13.6}{n^2}\,\mathrm{eV} \Rightarrow E_2 = -\dfrac{13.6}{4}
    En=−13.6n2 eV  ⇒  E2=−13.64=−3.4 eVE_n = -\dfrac{13.6}{n^2}\,\mathrm{eV} \;\Rightarrow\; E_2 = -\dfrac{13.6}{4} = \mathbf{-3.4\,eV}. L'energia di ionizzazione da n=2n=2 è ∣E2∣=3.4 eV|E_2| = 3.4\,\mathrm{eV}. La transizione 2→12\to1 emette 13.6−3.4=10.2 eV13.6-3.4 = 10.2\,\mathrm{eV} (riga Lyman-α\alpha).
Risultato:λ_de Broglie = 38.8 pm (scala X) — r₂ = 211.6 pm — E₂ = −3.4 eV.
TeoriaFisica ModernaFormularioFisica 2

Esercizi simili