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ElettrostaticaMedia

Sfera carica — campo e potenziale

Una sfera conduttrice di raggio R = 5 cm porta una carica totale Q = 2 μC. Calcola: (a) il campo E a r₁ = 10 cm dalla superficie esterna, (b) il potenziale V sulla superficie, (c) l'energia elettrostatica immagazzinata.
Dati forniti
R = 0.05 mQ = 2×10⁻⁶ Cr₁ = R + 0.10 = 0.15 m (da centro)ε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m
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  1. Per il teorema di Gauss, fuori da una sfera conduttrice il campo è identico a quello di una carica puntiforme posta al centro: E = kQ/r², con r misurato dal centro (qui R + 10 cm = 15 cm).
  2. Un conduttore in equilibrio è tutto allo stesso potenziale (equipotenziale): sulla superficie vale V = kQ/R, con R il raggio della sfera.
  3. L'energia elettrostatica accumulata caricando la sfera è U = ½QV (equivalente a kQ²/2R): uso il potenziale appena trovato.
Svolgimento completo
  1. Per il teorema di Gauss, fuori da una sfera conduttrice il campo è identico a quello di una carica puntiforme posta al centro: E = kQ/r², con r misurato dal centro (qui R + 10 cm = 15 cm).
    E=Q4πε0r2=kQr2=8.99×109⋅2×10−6(0.15)2E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{kQ}{r^2} = \dfrac{8.99\times10^9 \cdot 2\times10^{-6}}{(0.15)^2}
    E=kQr2=8.99×109⋅2×10−6(0.15)2=179800.0225≈7.99×105≈7.99×105 V/mE = \dfrac{kQ}{r^2} = \dfrac{8.99\times10^{9}\cdot2\times10^{-6}}{(0.15)^2} = \dfrac{17980}{0.0225} \approx 7.99\times10^{5} \approx \mathbf{7.99\times10^{5}\,V/m}. Fuori dalla sfera conduttrice il campo è come quello di una carica puntiforme posta al centro.
  2. Un conduttore in equilibrio è tutto allo stesso potenziale (equipotenziale): sulla superficie vale V = kQ/R, con R il raggio della sfera.
    V=kQR=8.99×109⋅2×10−60.05V = \dfrac{kQ}{R} = \dfrac{8.99\times10^9 \cdot 2\times10^{-6}}{0.05}
    V=kQR=8.99×109⋅2×10−60.05=179800.05=3.60×105 VV = \dfrac{kQ}{R} = \dfrac{8.99\times10^{9}\cdot2\times10^{-6}}{0.05} = \dfrac{17980}{0.05} = \mathbf{3.60\times10^{5}\,V}. La sfera conduttrice è un equipotenziale a 360 kV360\,\mathrm{kV}.
  3. L'energia elettrostatica accumulata caricando la sfera è U = ½QV (equivalente a kQ²/2R): uso il potenziale appena trovato.
    U=Q28πε0R=kQ22R=8.99×109⋅(2×10−6)22⋅0.05U = \dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} = \dfrac{kQ^2}{2R} = \dfrac{8.99\times10^9 \cdot (2\times10^{-6})^2}{2 \cdot 0.05}
    U=kQ22R=8.99×109⋅(2×10−6)22⋅0.05=8.99×109⋅4×10−120.1=0.360 JU = \dfrac{kQ^2}{2R} = \dfrac{8.99\times10^{9}\cdot(2\times10^{-6})^2}{2\cdot0.05} = \dfrac{8.99\times10^{9}\cdot4\times10^{-12}}{0.1} = \mathbf{0.360\,J}. Alternativamente U=12QV=12⋅2×10−6⋅3.60×105=0.360 JU = \frac12 QV = \frac12\cdot2\times10^{-6}\cdot3.60\times10^{5} = 0.360\,\mathrm{J}.
Risultato:E(15 cm) ≈ 799 kV/m — V(sup) ≈ 360 kV — U ≈ 0.360 J.
TeoriaElettrostaticaFormularioFisica 2

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