Uningenia
Inizia a studiareInizia
ElettrostaticaDifficile

Condensatore piano con dielettrico

Un condensatore piano ha armature di area A = 400 cm² e distanza d = 2 mm. Viene riempito con un dielettrico di costante εᵣ = 5 e collegato a V = 100 V. Calcola: (a) capacità, (b) carica sulle armature, (c) campo E interno, (d) energia immagazzinata.
Dati forniti
A = 400×10⁻⁴ m² = 0.04 m²d = 2×10⁻³ mεᵣ = 5V = 100 Vε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m
Ripassa la teoria: Elettrostatica
Passi
0 / 4
  1. La capacità di un condensatore piano è C = εᵣε₀A/d. Il dielettrico aumenta la capacità di un fattore εᵣ rispetto al vuoto, perché riduce il campo a parità di carica accumulata.
  2. Per la definizione stessa di capacità, la carica accumulata alla tensione V è Q = C·V.
  3. Tra le armature il campo è uniforme e legato alla tensione dalla distanza: E = V/d. A tensione fissata non dipende dal dielettrico.
  4. L'energia immagazzinata è il lavoro speso per caricare il condensatore: U = ½CV². Uso C e V.
Svolgimento completo
  1. La capacità di un condensatore piano è C = εᵣε₀A/d. Il dielettrico aumenta la capacità di un fattore εᵣ rispetto al vuoto, perché riduce il campo a parità di carica accumulata.
    C=εrε0Ad=5⋅8.85×10−12⋅0.040.002C = \varepsilon_r \varepsilon_0 \dfrac{A}{d} = 5 \cdot 8.85\times10^{-12} \cdot \dfrac{0.04}{0.002}
    C=εrε0Ad=5⋅8.85×10−12⋅0.040.002=5⋅8.85×10−12⋅20=885×10−12=885 pFC = \varepsilon_r \varepsilon_0 \dfrac{A}{d} = 5 \cdot 8.85\times10^{-12} \cdot \dfrac{0.04}{0.002} = 5 \cdot 8.85\times10^{-12} \cdot 20 = 885\times10^{-12} = \mathbf{885\,pF}. Senza dielettrico (εr=1\varepsilon_r = 1) sarebbe 177 pF177\,\mathrm{pF}, 5 volte inferiore.
  2. Per la definizione stessa di capacità, la carica accumulata alla tensione V è Q = C·V.
    Q=C⋅V=885×10−12⋅100Q = C \cdot V = 885\times10^{-12} \cdot 100
    Q=C V=885×10−12⋅100=88.5×10−9=88.5 nCQ = C\,V = 885\times10^{-12} \cdot 100 = 88.5\times10^{-9} = \mathbf{88.5\,nC}.
  3. Tra le armature il campo è uniforme e legato alla tensione dalla distanza: E = V/d. A tensione fissata non dipende dal dielettrico.
    E=Vd=1000.002E = \dfrac{V}{d} = \dfrac{100}{0.002}
    E=Vd=1000.002=50000=50 kV/mE = \dfrac{V}{d} = \dfrac{100}{0.002} = 50000 = \mathbf{50\,kV/m}. Con tensione VV fissata, il campo elettrico non dipende dalla presenza del dielettrico.
  4. L'energia immagazzinata è il lavoro speso per caricare il condensatore: U = ½CV². Uso C e V.
    U=12CV2=12⋅885×10−12⋅1002U = \dfrac{1}{2}CV^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 885\times10^{-12} \cdot 100^2
    U=12CV2=12⋅885×10−12⋅(100)2=12⋅885×10−12⋅104=4.425×10−6=4.43 μJU = \dfrac12 C V^2 = \dfrac12 \cdot 885\times10^{-12} \cdot (100)^2 = \dfrac12 \cdot 885\times10^{-12} \cdot 10^{4} = 4.425\times10^{-6} = \mathbf{4.43\,\mu J}. Verifica: U=12QV=12⋅88.5×10−9⋅100=4.43 μJU = \frac12 QV = \frac12\cdot88.5\times10^{-9}\cdot100 = 4.43\,\mu\mathrm{J} ✓.
Risultato:C = 885 pF — Q = 88.5 nC — E = 50 kV/m — U = 4.43 μJ.
TeoriaElettrostaticaFormularioFisica 2

Esercizi simili