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MagnetismoMedia

Forza di Lorentz — raggio della traiettoria

Un protone (m = 1.673×10⁻²⁷ kg, q = 1.602×10⁻¹⁹ C) entra perpendicolarmente in un campo magnetico B = 0.5 T con velocità v = 2×10⁶ m/s. Calcola: (a) il raggio della traiettoria circolare, (b) il periodo di rivoluzione, (c) la frequenza di ciclotrone.
Dati forniti
m = 1.673×10⁻²⁷ kgq = 1.602×10⁻¹⁹ CB = 0.5 Tv = 2×10⁶ m/s
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Passi
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  1. La forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità, quindi non cambia il modulo ma curva la traiettoria: fa da forza centripeta. Da qvB = mv²/r ricavo r = mv/(qB).
  2. Il periodo del moto circolare è T = 2πr/v = 2πm/(qB). Risultato notevole: non dipende dalla velocità — è il principio su cui funziona il ciclotrone.
  3. La frequenza di ciclotrone è l'inverso del periodo: f_c = 1/T = qB/(2πm). Come T, dipende solo da carica, massa e campo.
Svolgimento completo
  1. La forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità, quindi non cambia il modulo ma curva la traiettoria: fa da forza centripeta. Da qvB = mv²/r ricavo r = mv/(qB).
    r=mvqB=1.673×10−27⋅2×1061.602×10−19⋅0.5r = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{1.673\times10^{-27} \cdot 2\times10^6}{1.602\times10^{-19} \cdot 0.5}
    r=mvqB=1.673×10−27⋅2×1061.602×10−19⋅0.5=3.346×10−218.01×10−20=0.04178 m=4.178 cmr = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{1.673\times10^{-27}\cdot2\times10^{6}}{1.602\times10^{-19}\cdot0.5} = \dfrac{3.346\times10^{-21}}{8.01\times10^{-20}} = 0.04178\,\mathrm{m} = \mathbf{4.178\,cm}.
  2. Il periodo del moto circolare è T = 2πr/v = 2πm/(qB). Risultato notevole: non dipende dalla velocità — è il principio su cui funziona il ciclotrone.
    T=2πrv=2πmqBT = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{qB}
    T=2πmqB=2π⋅1.673×10−271.602×10−19⋅0.5=1.051×10−268.01×10−20=1.313×10−7=131.3 nsT = \dfrac{2\pi m}{qB} = \dfrac{2\pi\cdot1.673\times10^{-27}}{1.602\times10^{-19}\cdot0.5} = \dfrac{1.051\times10^{-26}}{8.01\times10^{-20}} = 1.313\times10^{-7} = \mathbf{131.3\,ns}. Nota: TT non dipende da vv.
  3. La frequenza di ciclotrone è l'inverso del periodo: f_c = 1/T = qB/(2πm). Come T, dipende solo da carica, massa e campo.
    fc=1T=qB2πmf_c = \dfrac{1}{T} = \dfrac{qB}{2\pi m}
    fc=1T=qB2πm=11.313×10−7≈7.62×106=7.62 MHzf_c = \dfrac{1}{T} = \dfrac{qB}{2\pi m} = \dfrac{1}{1.313\times10^{-7}} \approx 7.62\times10^{6} = \mathbf{7.62\,MHz}.
Risultato:r = 4.18 cm — T = 131.3 ns — f_c = 7.62 MHz.
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