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MagnetismoDifficile

Solenoide — autoinduttanza ed energia magnetica

Un solenoide ha N = 800 spire, lunghezza l = 40 cm, sezione A = 12 cm² e porta corrente I = 5 A. Calcola: (a) autoinduttanza L, (b) energia magnetica U, (c) campo B interno, (d) densità di energia u.
Dati forniti
N = 800l = 0.40 mA = 12×10⁻⁴ m²I = 5 Aμ₀ = 4π×10⁻⁷ T·m/A
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Passi
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  1. L'autoinduttanza misura il flusso magnetico concatenato per unità di corrente. Per un solenoide L = μ₀N²A/l: dipende dal quadrato del numero di spire.
  2. L'energia immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore è U = ½LI² (analoga a ½CV² del condensatore).
  3. Il campo interno è B = μ₀nI con n = N/l spire per metro: lo calcolo perché mi servirà per la densità di energia del passo successivo.
  4. L'energia non sta 'nelle spire' ma è distribuita nel campo magnetico: la densità di energia è u = B²/(2μ₀). (Verifica: u × volume del solenoide = U.)
Svolgimento completo
  1. L'autoinduttanza misura il flusso magnetico concatenato per unità di corrente. Per un solenoide L = μ₀N²A/l: dipende dal quadrato del numero di spire.
    L=μ0N2lA=4π×10−7⋅80020.40⋅12×10−4L = \mu_0 \dfrac{N^2}{l} A = 4\pi\times10^{-7} \cdot \dfrac{800^2}{0.40} \cdot 12\times10^{-4}
    L=μ0N2lA=4π×10−7⋅80020.40⋅12×10−4=4π×10−7⋅6400000.40⋅12×10−4=4π×10−7⋅1920≈2.412×10−3=2.412 mHL = \mu_0 \dfrac{N^2}{l}A = 4\pi\times10^{-7} \cdot \dfrac{800^2}{0.40} \cdot 12\times10^{-4} = 4\pi\times10^{-7} \cdot \dfrac{640000}{0.40} \cdot 12\times10^{-4} = 4\pi\times10^{-7} \cdot 1920 \approx 2.412\times10^{-3} = \mathbf{2.412\,mH}.
  2. L'energia immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore è U = ½LI² (analoga a ½CV² del condensatore).
    U=12LI2=12⋅2.412×10−3⋅52U = \dfrac{1}{2}LI^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2.412\times10^{-3} \cdot 5^2
    U=12LI2=12⋅2.412×10−3⋅52=12⋅2.412×10−3⋅25=30.15×10−3=30.15 mJU = \dfrac12 L I^2 = \dfrac12 \cdot 2.412\times10^{-3} \cdot 5^2 = \dfrac12 \cdot 2.412\times10^{-3} \cdot 25 = 30.15\times10^{-3} = \mathbf{30.15\,mJ}.
  3. Il campo interno è B = μ₀nI con n = N/l spire per metro: lo calcolo perché mi servirà per la densità di energia del passo successivo.
    B=μ0nI=μ0NlI=4π×10−7⋅8000.40⋅5B = \mu_0 n I = \mu_0 \dfrac{N}{l} I = 4\pi\times10^{-7} \cdot \dfrac{800}{0.40} \cdot 5
    B=μ0nI=4π×10−7⋅8000.40⋅5=4π×10−7⋅2000⋅5=4π×10−3≈12.57×10−3=12.57 mTB = \mu_0 n I = 4\pi\times10^{-7} \cdot \dfrac{800}{0.40} \cdot 5 = 4\pi\times10^{-7} \cdot 2000 \cdot 5 = 4\pi\times10^{-3} \approx 12.57\times10^{-3} = \mathbf{12.57\,mT}.
  4. L'energia non sta 'nelle spire' ma è distribuita nel campo magnetico: la densità di energia è u = B²/(2μ₀). (Verifica: u × volume del solenoide = U.)
    u=B22μ0=(12.57×10−3)22⋅4π×10−7u = \dfrac{B^2}{2\mu_0} = \dfrac{(12.57\times10^{-3})^2}{2 \cdot 4\pi\times10^{-7}}
    u=B22μ0=(12.57×10−3)22⋅4π×10−7=1.580×10−42.513×10−6≈62.9 J/m3u = \dfrac{B^2}{2\mu_0} = \dfrac{(12.57\times10^{-3})^2}{2\cdot4\pi\times10^{-7}} = \dfrac{1.580\times10^{-4}}{2.513\times10^{-6}} \approx \mathbf{62.9\,J/m^3}. Verifica: U=u⋅A⋅l=62.9⋅12×10−4⋅0.40≈30.2 mJU = u\cdot A\cdot l = 62.9 \cdot 12\times10^{-4} \cdot 0.40 \approx 30.2\,\mathrm{mJ} ✓.
Risultato:L = 2.41 mH — U = 30.15 mJ — B = 12.57 mT — u = 62.9 J/m³.
TeoriaMagnetismoFormularioFisica 2

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