Analisi 1

Numeri naturali $\mathbb{N}$: $\mathbb{N}={1,2,3,\dots}$. Servono per contare oggetti discreti. Su $\mathbb{N}$ si possono sommare e moltiplicare, ma non sottrarre liberamente ($3-5\notin\mathbb{N}$).

Numeri interi $\mathbb{Z}$: $\mathbb{Z}={\dots,-2,-1,0,1,2,\dots}$. Introducendo i negativi, la sottrazione diventa sempre possibile. Ogni intero ha un opposto ($-n$).

Numeri razionali $\mathbb{Q}$: $\mathbb{Q}={p/q : p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{Z}\setminus{0}}$. Le frazioni permettono la divisione tra qualsiasi intero (eccetto $0$). Tuttavia $\mathbb{Q}$ presenta dei "buchi": esistono punti sulla retta numerica che non corrispondono ad alcun numero razionale.

Perché $\mathbb{Q}$ non basta: dimostriamo che $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. Procediamo per assurdo: supponiamo $\sqrt{2}=p/q$ con $p,q$ interi primi tra loro. Allora $p^2=2q^2$, quindi $p^2$ è pari, dunque $p$ è pari. Scriviamo $p=2k$. Sostituendo: $4k^2=2q^2 \Rightarrow q^2=2k^2$, perciò $q^2$ è pari, quindi anche $q$ è pari. Ma $p$ e $q$ non possono essere entrambi pari perché li avevamo scelti primi tra loro — contraddizione. Dunque $\sqrt{2}$ non è razionale.

Numeri reali $\mathbb{R}$: per "riempire i buchi" introduciamo i numeri reali, che includono tutti i limiti di successioni convergenti di razionali (completamento di $\mathbb{Q}$). $\mathbb{R}$ è un campo ordinato completo: ogni insieme non vuoto limitato superiormente ha un estremo superiore (sup) in $\mathbb{R}$.

Numeri complessi $\mathbb{C}$: $\mathbb{C}={a+bi : a,b\in\mathbb{R}, i^2=-1}$. Estendono $\mathbb{R}$ includendo le soluzioni di $x^2+1=0$.

In sintesi: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$. Ogni passaggio estende le operazioni possibili e colma lacune precedenti.

Maggioranti e minoranti: sia $A\subseteq\mathbb{R}$ non vuoto. $M$ è un maggiorante di $A$ se $x\leq M$ per ogni $x\in A$. Se $A$ ammette maggioranti, si dice limitato superiormente. Analogamente, $m$ è un minorante se $x\geq m$ per ogni $x\in A$.

Estremo superiore (sup): è il più piccolo dei maggioranti. Si denota $\sup A$. Il sup può appartenere o meno all'insieme $A$. Ad esempio, $\sup(0,1)=1$ ma $1\notin(0,1)$, mentre $\sup[0,1]=1$ e $1\in[0,1]$. Se $\sup A\in A$, allora $\sup A$ è anche il massimo di $A$.

Caratterizzazione del sup: $s=\sup A$ se e solo se: (i) $s$ è un maggiorante ($x\leq s;\forall x\in A$); (ii) per ogni $\varepsilon>0$ esiste $x\in A$ con $x>s-\varepsilon$ (cioè $s$ non può essere migliorato).

Estremo inferiore (inf): è il più grande dei minoranti: $\inf A = \max{m : m\leq x;\forall x\in A}$. Se $\inf A\in A$, allora $\inf A$ è il minimo.

Assioma di completezza (Dedekind): ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$ limitato superiormente ha un $\sup$ in $\mathbb{R}$. Questo assioma è ciò che distingue $\mathbb{R}$ da $\mathbb{Q}$: in $\mathbb{Q}$, l'insieme ${q\in\mathbb{Q}: q^2<2}$ è limitato superiormente ma non ha sup in $\mathbb{Q}$ (il sup sarebbe $\sqrt{2}$, che non è razionale).

Teorema di esistenza di sup e inf: se $A$ è non vuoto e limitato (sia superiormente che inferiormente), allora esistono $\sup A$ e $\inf A$ in $\mathbb{R}$.

Una funzione $f: A \to B$ associa a ogni $x \in A$ esattamente un elemento $y = f(x) \in B$. $A$ è il dominio (insieme di partenza), $B$ il codominio, e $f(A)={f(x):x\in A}\subseteq B$ l'immagine (insieme dei valori effettivamente assunti).

Proprietà fondamentali:

• Iniettiva (uno-a-uno): $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$. Input diversi producono output diversi. Graficamente: nessuna retta orizzontale interseca il grafico più di una volta (test della retta orizzontale).
• Suriettiva: $f(A)=B$, cioè ogni $y\in B$ ha almeno una preimmagine. Equivalentemente: l'equazione $f(x)=y$ ha soluzione per ogni $y\in B$.
• Biiettiva: iniettiva e suriettiva contemporaneamente. Esiste allora la funzione inversa $f^{-1}:B\to A$ tale che $f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y$.
• Pari: $f(-x)=f(x)$ per ogni $x$. Il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$. Esempi: $x^2$, $\cos x$, $|x|$.
• Dispari: $f(-x)=-f(x)$ per ogni $x$. Il grafico è simmetrico rispetto all'origine. Esempi: $x^3$, $\sin x$, $\tan x$.
• Monotona crescente: $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)$. Strettamente crescente se $f(x_1)<f(x_2)$.
• Periodica di periodo $T>0$: $f(x+T)=f(x)$ per ogni $x$. Il periodo fondamentale è il più piccolo $T>0$ con questa proprietà.

Composizione di funzioni: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. La composizione è definita quando l'immagine di $g$ è contenuta nel dominio di $f$. La composizione è associativa ($f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h$) ma non commutativa ($f\circ g \neq g\circ f$ in generale).

Inversa: se $f$ è biiettiva, $f^{-1}:B\to A$ è definita da $f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y$. Il grafico di $f^{-1}$ è il simmetrico del grafico di $f$ rispetto alla retta $y=x$. Proprietà: $f^{-1}(f(x))=x$ e $f(f^{-1}(y))=y$.

Funzione esponenziale $e^x$: dominio $\mathbb{R}$, immagine $(0,+\infty)$, strettamente crescente, $e^0=1$. Proprietà fondamentale: $e^{x+y}=e^x e^y$. Gerarchia di crescita: $e^x$ cresce più velocemente di qualsiasi potenza $x^\alpha$ per $x\to+\infty$ (cioè $\lim_{x\to+\infty} x^\alpha/e^x=0$ per ogni $\alpha$). La funzione esponenziale generale $a^x = e^{x\ln a}$.

Logaritmo naturale $\ln x$: funzione inversa di $e^x$. Dominio $(0,+\infty)$, immagine $\mathbb{R}$, strettamente crescente. Proprietà: $\ln(xy)=\ln x+\ln y$, $\ln(x/y)=\ln x-\ln y$, $\ln(x^\alpha)=\alpha\ln x$. Cambio di base: $\log_a x = \ln x / \ln a$.

Funzioni trigonometriche: $\sin x$ e $\cos x$ sono periodiche con periodo $2\pi$, limitate in $[-1,1]$. Identità pitagorica: $\sin^2 x+\cos^2 x=1$. Formule di addizione: $\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$, $\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$. $\tan x = \sin x/\cos x$ è periodica con periodo $\pi$, definita per $x\neq\pi/2+k\pi$.

Funzioni trigonometriche inverse: $\arcsin:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$ (inversa di $\sin$, restringendo a $[-\pi/2,\pi/2]$); $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$; $\arctan:\mathbb{R}\to(-\pi/2,\pi/2)$.

Funzioni iperboliche: $\sinh x = (e^x-e^{-x})/2$, $\cosh x = (e^x+e^{-x})/2$. $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$ (analogo dell'identità pitagorica).