Serie di Taylor e Sviluppi in Serie

Una serie di potenze è una serie della forma $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$, dove $a_n$ sono coefficienti reali e $x_0$ è il centro della serie. Per ogni serie di potenze esiste un raggio di convergenza $R \in [0,+\infty]$ tale che:

• La serie converge assolutamente per $|x-x_0| < R$ (intervallo aperto di convergenza);
• La serie diverge per $|x-x_0| > R$;
• Per $|x-x_0| = R$ il comportamento va studiato caso per caso.

Criterio del rapporto per il raggio: se $\lim_{n\to\infty} |a_{n+1}/a_n| = L$ esiste (o è $+\infty$), allora $R = 1/L$ (con $R=+\infty$ se $L=0$, e $R=0$ se $L=+\infty$).

Criterio della radice: se $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$, allora $R=1/L$ con le stesse convenzioni.

Esempi: $\sum x^n$ ha $a_n=1$, $R=1$ (converge per $|x|<1$). $\sum x^n/n!$ ha $R=+\infty$ (converge per ogni $x$).

Se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$, il polinomio di Taylor di ordine $n$ è:

$$T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k.$$

La serie di Taylor è il limite $n\to\infty$ (se esiste). Per $x_0=0$ si parla di serie di MacLaurin.

Resto in forma di Peano: $f(x) = T_n(x) + o((x-x_0)^n)$ per $x\to x_0$. Indica che l'errore è trascurabile rispetto a $(x-x_0)^n$.

Resto in forma di Lagrange: sotto ipotesi di derivabilità $n+1$ volte, esiste $\xi$ tra $x$ e $x_0$ tale che:

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}.$$

Questa forma è utile per stimare l'errore di approssimazione.

Condizione sufficiente per l'analiticità: se $f$ è derivabile infinite volte in un intorno di $x_0$ e $|f^{(n)}(x)|\leq M$ per ogni $n$ e per $x$ vicino a $x_0$, allora la serie di Taylor converge a $f(x)$ nell'intervallo di convergenza.

Gli sviluppi di MacLaurin (serie di Taylor centrata in $0$) fondamentali da memorizzare:

• $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$, $R=+\infty$.
• $\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$, $R=+\infty$.
• $\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$, $R=+\infty$.
• $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$, $R=1$ (per $-1<x\leq1$).
• $(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots$, $R=1$ (serie binomiale).
• $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + \cdots$, $R=1$ (serie geometrica).

Formula di Eulero: $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ si ottiene sostituendo $x\to ix$ nella serie dell'esponenziale e separando parte reale e immaginaria, che danno le serie del coseno e del seno.

Gli sviluppi di Taylor sono uno strumento potente per risolvere forme indeterminate $0/0$, superando i limiti della regola di De L'Hôpital (che talvolta richiede derivate successive complesse).

Procedura:

1. Sviluppare ciascuna funzione coinvolta in serie di Taylor fino all'ordine necessario;
2. Sostituire gli sviluppi nell'espressione del limite;
3. Semplificare algebricamente, eliminando i termini di ordine superiore che vanno a zero;
4. Calcolare il limite del rapporto dei termini dominanti.

Gerarchia degli infinitesimi (per $x\to0$): $x^\alpha \ll x^\beta$ se $\alpha>\beta$. Negli sviluppi di Taylor, i termini di grado inferiore dominano il comportamento per $x\to0$.

Confronto con De L'Hôpital: per il limite $\lim_{x\to0} (\sin x - x)/x^3$, servono tre derivate successive con L'Hôpital, mentre con Taylor basta lo sviluppo $\sin x = x - x^3/6 + o(x^3)$ per ottenere immediatamente il risultato $-1/6$.