ODE Lineari del Primo Ordine

Un'ODE lineare del primo ordine si scrive nella forma:

$$y' + a(x)y = b(x),$$

dove $a(x)$ e $b(x)$ sono funzioni continue in un intervallo $I$. È "lineare" perché $y$ e $y'$ appaiono solo al primo grado, non come potenze o funzioni composte.

Metodo del fattore integrante: moltiplichiamo entrambi i membri per una funzione $\mu(x) > 0$ scelta in modo che il primo membro diventi la derivata di un prodotto. Richiediamo:

$$\mu(x) y' + \mu(x) a(x) y = [\mu(x) y]' = \mu'(x) y + \mu(x) y'.$$

Confrontando, otteniamo $\mu'(x) = \mu(x) a(x)$, che è un'ODE a variabili separabili la cui soluzione è:

$$\mu(x) = e^{\int a(x)\,dx}.$$

Formula risolutiva: una volta trovato $\mu(x)$, l'equazione diventa $[\mu(x) y]' = \mu(x) b(x)$. Integrando:

$$y(x) = \frac{1}{\mu(x)} \left[ \int \mu(x) b(x)\,dx + C \right].$$

Procedura pratica: (1) portare in forma $y'+a(x)y=b(x)$; (2) calcolare $\mu = e^{\int a dx}$; (3) moltiplicare l'equazione per $\mu$; (4) riconoscere $[\mu y]' = \mu b$; (5) integrare e risolvere per $y$.

Il problema di Cauchy (o problema ai valori iniziali) associa all'ODE una condizione iniziale $y(x_0)=y_0$, che permette di determinare l'unica soluzione che passa per il punto $(x_0,y_0)$.

Esistenza e unicità (teorema di Cauchy-Lipschitz): se $a(x)$ e $b(x)$ sono continue in un intorno di $x_0$, allora esiste un'unica soluzione del problema di Cauchy in un intorno di $x_0$.

Determinazione della costante: dalla formula risolutiva $y(x) = \frac{1}{\mu(x)}[F(x)+C]$, dove $F(x)=\int\mu(x)b(x)dx$. Imponendo $y(x_0)=y_0$ otteniamo:

$$C = \mu(x_0) y_0 - F(x_0).$$

La soluzione particolare risultante è valida su tutto l'intervallo in cui $a$ e $b$ sono continue.

Esempio: $y' + 2xy = x$, con $y(0)=0$. $\mu = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$. L'equazione diventa $[e^{x^2}y]' = x e^{x^2}$. Integrando: $e^{x^2}y = \frac12 e^{x^2} + C$, quindi $y = \frac12 + C e^{-x^2}$. Da $y(0)=0$ otteniamo $0 = \frac12 + C \Rightarrow C=-\frac12$. Soluzione: $y = \frac12(1-e^{-x^2})$.

Circuiti RL: un circuito con resistenza $R$ e induttanza $L$ in serie è descritto da:

$$L\frac{di}{dt} + R i = V(t),$$

dove $i(t)$ è la corrente e $V(t)$ la tensione applicata. L'equazione è lineare del I ordine in forma $i' + (R/L)i = V(t)/L$. Il fattore integrante è $\mu = e^{(R/L)t}$. La soluzione fornisce l'andamento della corrente nel tempo.

Crescita logistica: $P' = rP(1-P/K)$ non è lineare, ma può essere ricondotta a un'ODE lineare con la sostituzione $u=1/P$, ottenendo $u' + ru = r/K$, risolvibile col fattore integrante.

Miscelazione di soluzioni: un serbatoio contiene $V(t)$ litri di una soluzione con concentrazione $c(t)$ di un sale. Se entra un flusso $Q_{in}$ con concentrazione $c_{in}$ ed esce un flusso $Q_{out}$, la quantità totale $Q(t)=c(t)V(t)$ evolve secondo $Q' = Q_{in}c_{in} - (Q_{out}/V)Q$, un'ODE lineare del I ordine.