Continuità

$f$ è continua in $x_0$ se valgono tre condizioni:

1. $f(x_0)$ è definita (il punto appartiene al dominio);$\lim_{x\to x_0}f(x)$ esiste (i limiti destro e sinistro coincidono);
2. $\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$ (limite e valore coincidono).

Se una qualsiasi di queste tre condizioni viene meno, $f$ ha una discontinuità in $x_0$.

Tipi di discontinuità:

• Eliminabile (I specie): il limite $L=\lim_{x\to x_0}f(x)$ esiste finito ma $f(x_0)\neq L$ (o $f(x_0)$ non è definita). Il grafico presenta un "buco" che può essere "tappato" ridefinendo $f(x_0)=L$. Esempio: $f(x)=(\sin x)/x$ in $x=0$ (ha limite $1$ ma non è definita).
• Salto (II specie): entrambi i limiti unilaterali esistono finiti ma sono diversi: $\lim_{x\to x_0^-}f(x) \neq \lim_{x\to x_0^+}f(x)$. La differenza $|\lim^+ - \lim^-|$ è l'ampiezza del salto. Esempio: la funzione parte intera $f(x)=\lfloor x\rfloor$ ha salti di ampiezza 1 in ogni $x\in\mathbb{Z}$.
• Seconda specie: almeno uno dei limiti unilaterali è infinito o non esiste. Include asintoti verticali e oscillazioni violente come $f(x)=\sin(1/x)$ in $x=0$.

$f$ è continua su un intervallo se è continua in ogni punto interno e agli estremi (con il limite unilaterale appropriato).

Tre teoremi fondamentali valgono per funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$.

Teorema di Bolzano (esistenza degli zeri): se $f$ è continua su $[a,b]$ e $f(a)\cdot f(b)<0$ (cioè $f$ cambia segno), allora esiste almeno un $c\in(a,b)$ tale che $f(c)=0$. Interpretazione geometrica: una curva continua che parte sopra l'asse $x$ e termina sotto (o viceversa) deve necessariamente intersecarlo in almeno un punto. Utile per localizzare le radici di un'equazione (metodo di bisezione).

Teorema di Weierstrass (esistenza di massimo e minimo): se $f$ è continua sull'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, allora $f$ è limitata e raggiunge il suo massimo e il suo minimo assoluti. Esistono cioè $x_m, x_M\in[a,b]$ tali che $f(x_m)=\min f$ e $f(x_M)=\max f$. Entrambe le ipotesi (continuità e intervallo chiuso limitato) sono necessarie: $f(x)=1/x$ su $(0,1]$ non ha massimo perché l'intervallo non è chiuso.

Teorema dei valori intermedi: se $f$ è continua su $[a,b]$, allora $f$ assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$. Più precisamente, per ogni $k$ compreso tra $f(a)$ e $f(b)$ esiste $c\in(a,b)$ tale che $f(c)=k$. Generalizza Bolzano (che è il caso $k=0$ con segni opposti).