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ContinuitàMedia

Teorema degli zeri — radice di equazione

Mostra che l'equazione x³ − 3x + 1 = 0 ha almeno una radice reale nell'intervallo (1, 2) usando il Teorema di Bolzano.
Dati forniti
f(x) = x³ − 3x + 1Intervallo (1, 2)
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  1. Il teorema di Bolzano (degli zeri) richiede di valutare la funzione agli estremi dell'intervallo e guardarne il segno. Comincio calcolando f(1).
  2. Valuto ora la funzione all'altro estremo: f(2). Mi interessa soprattutto il suo segno.
  3. f è continua (è un polinomio) e agli estremi assume segni opposti: per forza la curva attraversa lo zero da qualche parte. È il teorema di Bolzano: se f(1)·f(2) < 0 esiste c ∈ (1,2) con f(c) = 0. Verifico il prodotto.
Svolgimento completo
  1. Il teorema di Bolzano (degli zeri) richiede di valutare la funzione agli estremi dell'intervallo e guardarne il segno. Comincio calcolando f(1).
    f(1)=13−3⋅1+1=1−3+1f(1) = 1^3 - 3\cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1
    f(1)=13−3⋅1+1=1−3+1=−1<0f(1) = 1^3 - 3\cdot1 + 1 = 1 - 3 + 1 = \mathbf{-1} < 0.
  2. Valuto ora la funzione all'altro estremo: f(2). Mi interessa soprattutto il suo segno.
    f(2)=23−3⋅2+1=8−6+1f(2) = 2^3 - 3\cdot 2 + 1 = 8 - 6 + 1
    f(2)=23−3⋅2+1=8−6+1=3>0f(2) = 2^3 - 3\cdot2 + 1 = 8 - 6 + 1 = \mathbf{3} > 0.
  3. f è continua (è un polinomio) e agli estremi assume segni opposti: per forza la curva attraversa lo zero da qualche parte. È il teorema di Bolzano: se f(1)·f(2) < 0 esiste c ∈ (1,2) con f(c) = 0. Verifico il prodotto.
    f(1)⋅f(2)=−1⋅3=−3<0f(1) \cdot f(2) = -1 \cdot 3 = -3 < 0
    f(1)⋅f(2)=−1⋅3=−3<0f(1)\cdot f(2) = -1 \cdot 3 = -3 < 0. La funzione ff è continua su [1,2][1,2] (polinomio) e cambia segno: f(1)<0f(1)<0, f(2)>0f(2)>0. Per il Teorema di Bolzano esiste c∈(1,2)c \in (1,2) tale che f(c)=0f(c)=0.
Risultato:Per il Teorema di Bolzano, esiste c ∈ (1, 2) tale che f(c) = 0.
TeoriaContinuitàFormularioAnalisi 1

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