Insiemi & FunzioniMedia

Dominio di funzione composta

Determina il dominio di f(x) = ln(x² − 4) + √(9 − x²).

Dati forniti

f(x) = ln(x² − 4) + √(9 − x²)

Passi

0 / 4

Il dominio della funzione è l'intersezione delle condizioni di esistenza di tutti i suoi pezzi. Comincio dal logaritmo, che esiste solo per argomento strettamente positivo: impongo x² − 4 > 0.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (insieme)
L'altro pezzo è una radice quadrata, che nei reali richiede argomento non negativo: impongo 9 − x² ≥ 0.
Il dominio è dove valgono entrambe le condizioni contemporaneamente, quindi interseco i due insiemi trovati. Qual è l'estremo sinistro (inferiore) dell'intersezione?
Stessa intersezione dei due insiemi: qual è l'estremo destro (superiore) del dominio?

Svolgimento completo

Il dominio della funzione è l'intersezione delle condizioni di esistenza di tutti i suoi pezzi. Comincio dal logaritmo, che esiste solo per argomento strettamente positivo: impongo x² − 4 > 0.
$x^2 - 4 > 0$
$x^2 - 4 > 0 \;\Rightarrow\; |x| > 2 \;\Rightarrow\; (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ . Il logaritmo richiede un argomento strettamente positivo.
L'altro pezzo è una radice quadrata, che nei reali richiede argomento non negativo: impongo 9 − x² ≥ 0.
$9 - x^2 \geq 0$
$9 - x^2 \geq 0 \;\Rightarrow\; x^2 \leq 9 \;\Rightarrow\; -3 \leq x \leq 3$ . La radice quadrata richiede un argomento non negativo.
Il dominio è dove valgono entrambe le condizioni contemporaneamente, quindi interseco i due insiemi trovati. Qual è l'estremo sinistro (inferiore) dell'intersezione?
$[-3, -2)$
Intersezione: $(-\infty,-2)\cup(2,\infty) \cap [-3,3] = [-3,-2) \cup (2,3]$ . L'estremo sinistro del dominio è $\mathbf{-3}$ .
Stessa intersezione dei due insiemi: qual è l'estremo destro (superiore) del dominio?
$(2, 3]$
L'estremo destro del dominio è $\mathbf{3}$ . Dominio completo: $[-3,-2) \cup (2,3]$ .

Risultato:Dominio: [−3, −2) ∪ (2, 3].

Continua a studiare