LimitiFacile

Forma indeterminata ∞/∞ — razionale

Calcola lim_{x→+∞} (3x² − 2x + 1)/(x² + 5).

Dati forniti

lim_{x→+∞} (3x² − 2x + 1)/(x² + 5)

Passi

0 / 3

Per una forma ∞/∞ tra polinomi la strategia è isolare la potenza dominante: raccolgo x² (grado massimo) sia al numeratore sia al denominatore, così resta un rapporto di fattori che tendono a costanti.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Dopo aver raccolto x², i termini con x al denominatore diventano trascurabili: a cosa tendono 2/x, 1/x² e 5/x² quando x→+∞?
Sostituisco con 0 i termini che svaniscono: resta il rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo. Quanto vale il limite?

Svolgimento completo

Per una forma ∞/∞ tra polinomi la strategia è isolare la potenza dominante: raccolgo x² (grado massimo) sia al numeratore sia al denominatore, così resta un rapporto di fattori che tendono a costanti.
$\dfrac{x^2(3 - 2/x + 1/x^2)}{x^2(1 + 5/x^2)}$
$\dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5} = \dfrac{x^2(3 - 2/x + 1/x^2)}{x^2(1 + 5/x^2)}$ . Raccogliamo il termine dominante $x^2$ a numeratore e denominatore.
Dopo aver raccolto x², i termini con x al denominatore diventano trascurabili: a cosa tendono 2/x, 1/x² e 5/x² quando x→+∞?
$\dfrac{2}{x} \to 0,\quad \dfrac{1}{x^2} \to 0,\quad \dfrac{5}{x^2} \to 0$
$\dfrac{2}{x} \to 0,\; \dfrac{1}{x^2} \to 0,\; \dfrac{5}{x^2} \to 0$ per $x\to\infty$ . I termini con $x$ al denominatore diventano trascurabili.
Sostituisco con 0 i termini che svaniscono: resta il rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo. Quanto vale il limite?
$\dfrac{3 - 0 + 0}{1 + 0} = 3$
$\displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5} = \dfrac{3 - 0 + 0}{1 + 0} = \mathbf{3}$ . Il limite è il rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo ( $x^2$ ).

Risultato:lim_{x→+∞} (3x² − 2x + 1)/(x² + 5) = 3.

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