ContinuitàMedia

Continuità con parametro — sin(kx)/x

Trova k affinché f(x) = { sin(kx)/x per x≠0, 2 per x=0 } sia continua in x=0.

Dati forniti

f(x) = sin(kx)/x per x≠0f(0) = 2

Passi

0 / 3

Una funzione è continua in un punto se il limite lì coincide col valore della funzione. Quindi impongo che il limite per x→0 sia uguale a f(0) = 2: è questa l'equazione che determinerà k.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (condizione)
Calcolo il limite a sinistra in funzione di k usando il notevole: riscrivo sin(kx)/x = k·sin(kx)/(kx) e, poiché sin(kx)/(kx)→1, il limite vale k.
Eguaglio il limite trovato (che vale k) al valore richiesto dalla continuità, f(0) = 2: quanto deve valere k?

Svolgimento completo

Una funzione è continua in un punto se il limite lì coincide col valore della funzione. Quindi impongo che il limite per x→0 sia uguale a f(0) = 2: è questa l'equazione che determinerà k.
$\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(kx)}{x} = 2$
$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(kx)}{x} = f(0) = 2$ . Per la continuità il limite per $x\to 0$ deve coincidere con il valore della funzione in $0$ .
Calcolo il limite a sinistra in funzione di k usando il notevole: riscrivo sin(kx)/x = k·sin(kx)/(kx) e, poiché sin(kx)/(kx)→1, il limite vale k.
$\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(kx)}{x} = k \cdot \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(kx)}{kx} = k$
$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(kx)}{x} = k \cdot \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(kx)}{kx} = k \cdot 1 = k$ . Usiamo il limite notevole $\sin(t)/t \to 1$ con $t = kx$ .
Eguaglio il limite trovato (che vale k) al valore richiesto dalla continuità, f(0) = 2: quanto deve valere k?
$k = 2$
$k = \mathbf{2}$ . Il limite vale $k$ e deve essere uguale a $f(0) = 2$ , quindi $k=2$ .

Risultato:k = 2. Con questo valore la discontinuità è eliminata.

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