Meccanica

Le grandezze fisiche si dividono in due categorie: le fondamentali, definite per convenzione (massa kg, lunghezza m, tempo s, temperatura K, corrente A, quantità di sostanza mol, intensità luminosa cd), e le derivate, ottenute combinando le fondamentali (velocità m/s, forza N = kg·m/s², energia J = N·m, potenza W = J/s).

L'analisi dimensionale è uno strumento potentissimo per verificare la correttezza formale di una formula fisica. Il principio è semplice: ogni termine di un'equazione deve avere le stesse dimensioni fisiche. Non si possono sommare mele con pere — e in fisica non si possono sommare metri con secondi.

Scriviamo le dimensioni delle grandezze fondamentali come: $[L]$ per la lunghezza, $[T]$ per il tempo, $[M]$ per la massa. Allora:

• Velocità: $[v] = L/T$ — rapporto tra una lunghezza e un tempo.
• Accelerazione: $[a] = L/T^2$ — variazione di velocità nel tempo.
• Forza (II legge di Newton): $[F] = [m][a] = M \cdot L/T^2$.
• Lavoro/Energia: $[W] = [F][L] = M L^2 T^{-2}$.

Esempio concreto: nella formula del periodo del pendolo $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, controlliamo le dimensioni: $[L/g] = L/(L/T^2) = T^2$, quindi $\sqrt{L/g}$ ha dimensioni $[T]$, correttamente. Se avessimo scritto $T = 2\pi\sqrt{g/L}$, le dimensioni sarebbero $T^{-1}$, che non è un tempo — la formula sarebbe sbagliata ancor prima di misurare.

L'analisi dimensionale non può determinare le costanti adimensionali (come il $2\pi$), ma è il primo controllo da fare su qualsiasi formula: se le dimensioni non quadrano, la formula è certamente errata.

Per descrivere il moto di un punto materiale dobbiamo prima di tutto sapere dove si trova e come si sposta. Il vettore posizione $\vec{r}(t)$ è la quantità fondamentale: individua il punto nello spazio rispetto a un'origine O fissata, e dipende dal tempo perché il punto si muove.

Quando il punto si sposta da $\vec{r}_1$ a $\vec{r}_2$, definiamo lo spostamento $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$. È importante notare che lo spostamento dipende solo dai punti iniziale e finale, non dal percorso seguito. Se percorri un sentiero tortuoso in montagna e torni al punto di partenza, $\Delta\vec{r} = 0$ anche se hai camminato chilometri.

La velocità media è il rapporto tra spostamento e intervallo di tempo: $\vec{v}_m = \Delta\vec{r}/\Delta t$. Ci dice, in media, quanto velocemente cambia la posizione.

La velocità istantanea è il limite della velocità media quando l'intervallo di tempo tende a zero: $$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$$ È la derivata del vettore posizione rispetto al tempo. Geometricamente, $\vec{v}$ è sempre tangente alla traiettoria nel punto considerato: se immagini una macchina in curva, la sua velocità in ogni istante punta nella direzione in cui la macchina sta andando in quell'esatto momento.

La velocità scalare (o modulo della velocità) è $|\vec{v}| = ds/dt$, dove $s$ è la lunghezza dell'arco di traiettoria percorso. Il tachimetro della macchina misura proprio $|\vec{v}|$.

L'accelerazione misura come cambia la velocità nel tempo. Proprio come la velocità è la derivata della posizione, l'accelerazione è la derivata della velocità: $$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$
Attenzione: un corpo può accelerare anche se la sua velocità scalare è costante! Basta che cambi la direzione del moto. È qui che entra in gioco la scomposizione dell'accelerazione in due componenti:

• Accelerazione tangenziale $a_t = dv/dt$: misura quanto cambia il modulo della velocità. Se premi l'acceleratore, $a_t$ è positiva e la macchina va più veloce; se frena, $a_t$ è negativa. È parallela alla velocità (stessa direzione o opposta).
• Accelerazione centripeta $a_n = v^2/R$: misura quanto cambia la direzione della velocità. È sempre perpendicolare alla velocità e punta verso il centro di curvatura della traiettoria. In curva, anche a velocità costante, senti una forza che ti spinge verso l'esterno — è l'effetto dell'accelerazione centripeta (che in realtà punta verso l'interno della curva).

Il modulo totale dell'accelerazione è $|\vec{a}| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$.

Esempio fisico: una macchina che percorre una curva a 50 km/h costanti ha $a_t = 0$ (modulo costante) ma $a_n = v^2/R \neq 0$ (direzione che cambia). L'accelerazione totale è puramente centripeta. Invece, una macchina che accelera in rettilineo ha $a_n = 0$ (traiettoria rettilinea) e $a_t \neq 0$.

Per un moto rettilineo, $R \to \infty$ e quindi $a_n = 0$: l'accelerazione è puramente tangenziale.

Il moto rettilineo uniforme è il tipo di moto più semplice: la velocità è costante in modulo e direzione. Di conseguenza, l'accelerazione è zero ($a = 0$).

La legge oraria è lineare: $$x(t) = x_0 + v \cdot t$$ dove $x_0$ è la posizione iniziale (al tempo $t=0$) e $v$ è la velocità costante. Il grafico $x(t)$ è una retta inclinata: la pendenza è la velocità. Il grafico $v(t)$ è una retta orizzontale (velocità che non cambia). Il grafico $a(t)$ è zero ovunque.

Significato fisico: nel MRU, la forza netta sul corpo è zero (primo principio della dinamica). Un'auto che viaggia a 130 km/h su un tratto rettilineo di autostrada, senza accelerare né frenare, è in MRU — il motore fornisce giusto la potenza per vincere l'attrito e la resistenza dell'aria, ma la forza risultante è nulla, quindi la velocità non cambia.

Lo spostamento in un intervallo $\Delta t$ è semplicemente $\Delta x = v \cdot \Delta t$: la velocità costante moltiplicata per il tempo trascorso. Se un treno viaggia a 80 m/s per 30 secondi, percorre esattamente $80 \cdot 30 = 2400$ metri.

Il MRU è anche il moto di un sistema di riferimento inerziale: un osservatore in MRU non può distinguere il proprio moto da uno stato di quiete (principio di relatività galileiana).

Nel moto uniformemente accelerato l'accelerazione è costante in modulo e direzione. La velocità cambia linearmente nel tempo, e la posizione cambia quadraticamente.

Le leggi orarie sono:

• $v(t) = v_0 + a\,t$ — la velocità cresce (o decresce) linearmente.
• $x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^2$ — la posizione segue una parabola nel tempo.
• $v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0)$ — relazione indipendente dal tempo, utilissima quando non conosciamo $t$.

Interpretazione dei termini:

• $v_0 t$: quanto avanziamo per la velocità che avevamo all'inizio.
• $\tfrac{1}{2}a t^2$: contributo aggiuntivo (o sottrattivo) dovuto all'accelerazione. Se $a > 0$, questo termine è positivo e ci sposta più avanti; se $a < 0$, frena il moto.

Caduta libera: l'esempio più comune di MUA è la caduta dei gravi sulla superficie terrestre. Trascurando la resistenza dell'aria, tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione $g = 9.81\,\mathrm{m/s^2}$ verso il basso: $$y(t) = y_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2}g\,t^2$$ dove il segno negativo indica che l'accelerazione è verso il basso (se $y$ è positiva verso l'alto). Se lasci cadere una palla da ferma ($v_0 = 0$) da un'altezza $h$, il tempo di caduta è $t = \sqrt{2h/g}$ — nota che non dipende dalla massa! Una piuma e un martello sulla Luna cadono insieme (esperimento dell'Apollo 15).

Il grafico $x(t)$ è una parabola con concavità verso l'alto se $a > 0$, verso il basso se $a < 0$. Il grafico $v(t)$ è una retta di pendenza $a$.

Il moto del proiettile è un esempio classico di composizione di moti indipendenti: un corpo lanciato in aria con una velocità iniziale $\vec{v}_0$ inclinata segue una traiettoria parabolica sotto l'azione della sola gravità (trascurando l'attrito dell'aria).

Il trucco fondamentale è separare il moto in due dimensioni indipendenti:

• Asse x (orizzontale): nessuna forza agisce in orizzontale (trascurando l'aria), quindi il moto è un MRU con velocità costante $v_{0x} = v_0\cos\theta$.
• Asse y (verticale): la gravità agisce verso il basso con accelerazione costante $-g$, quindi il moto è un MUA con $v_{0y} = v_0\sin\theta$.

Le equazioni del moto sono: $$x(t) = v_0\cos\theta\cdot t \qquad y(t) = v_0\sin\theta\cdot t - \tfrac{1}{2}g\,t^2$$
Grandezze caratteristiche:

• Tempo di volo $T = 2v_{0y}/g = 2v_0\sin\theta/g$ — tempo totale dal lancio all'impatto (se quota finale = quota iniziale).
• Gittata $R = v_{0x} \cdot T = \dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$ — distanza orizzontale percorsa. Massima per $\theta = 45°$.
• Altezza massima $h_{max} = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$ — raggiunta quando $v_y = 0$ (vertice della parabola).
• Velocità al vertice: $v_y = 0$, $v = v_{0x}$ — minima velocità durante il volo.

Perché l'angolo ottimale è 45°? La gittata $R \propto \sin(2\theta)$. La funzione $\sin(2\theta)$ ha massimo per $2\theta = 90°$, cioè $\theta = 45°$. A parità di $v_0$, un angolo più basso dà più velocità orizzontale ma meno tempo di volo; uno più alto dà più tempo di volo ma meno velocità orizzontale. Il compromesso migliore è a 45°.

Simmetria: per $\theta$ e $90°-\theta$ si ottiene la stessa gittata (es. 30° e 60° danno lo stesso $R$, ma con diversa $h_{max}$ e tempo di volo).

Il moto circolare uniforme è il moto di un punto che percorre una circonferenza con velocità scalare costante. Attenzione: anche se $|\vec{v}|$ è costante, la direzione della velocità cambia continuamente, quindi c'è accelerazione.

Grandezze angolari: invece di descrivere il moto con coordinate cartesiane, è comodo usare coordinate angolari:

• Posizione angolare $\theta(t)$ [rad] — l'angolo spazzato dal raggio vettore.
• Velocità angolare $\omega = d\theta/dt$ [rad/s] — costante nel MCU.
• Periodo $T = 2\pi/\omega$ [s] — tempo per un giro completo.
• Frequenza $f = 1/T = \omega/(2\pi)$ [Hz] — giri al secondo.

Relazione tra grandezze lineari e angolari: $$v = \omega\,r \qquad a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$ L'accelerazione centripeta $a_c$ punta sempre verso il centro della circonferenza: è ciò che "curva" la traiettoria. Senza di essa, il corpo proseguirebbe in linea retta (I principio della dinamica).

MCUA (Moto Circolare Uniformemente Accelerato): se la velocità angolare non è costante, introduciamo l'accelerazione angolare $\alpha = d\omega/dt$ [rad/s²], analoga all'accelerazione lineare. Le leggi sono formalmente identiche a quelle del MUA: $$\omega(t) = \omega_0 + \alpha t \qquad \theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2$$
Esempi reali:

• Un satellite in orbita geostazionaria compie un giro in 24 ore ($\omega = 7.27\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$).
• Un disco rigido in rotazione: tutti i punti hanno la stessa $\omega$, ma velocità lineare $v = \omega r$ maggiore per i punti più lontani dal centro.
• La centrifuga in laboratorio: sfrutta l'accelerazione centripeta per separare componenti di diversa densità.