Oscillazioni e Moto Armonico

Un sistema esegue un moto armonico semplice quando la forza di richiamo è proporzionale allo spostamento e diretta verso la posizione di equilibrio (legge di Hooke, $F = -kx$). È il modello più importante della fisica oscillatoria perché descrive il comportamento di ogni sistema stabile vicino a un punto di equilibrio.

L'equazione del moto $m\ddot{x} = -kx$ si scrive in forma canonica come: $$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$$ È un'ODE lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti. L'equazione caratteristica $\lambda^2 + \omega_0^2 = 0$ ha radici complesse coniugate $\lambda = \pm i\omega_0$, che portano a soluzioni sinusoidali. La soluzione generale è combinazione lineare di seno e coseno, o equivalentemente: $$x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)$$ dove $A$ è l'ampiezza (spostamento massimo) e $\phi$ la fase iniziale (posizione angolare al $t=0$ sul diagramma fasoriale).

Condizioni iniziali: le costanti $A$ e $\phi$ si determinano dalla posizione e velocità iniziali: $$A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega_0)^2}, \quad \tan\phi = -\frac{v_0}{\omega_0 x_0}$$ La fase si sceglie nell'intervallo $[0, 2\pi)$ in base al quadrante determinato dai segni di $x_0$ e $v_0$.

Proprietà fondamentali:

• Isocronismo: il periodo $T = 2\pi/\omega_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ non dipende dall'ampiezza. Oscillazioni piccole e grandi hanno lo stesso periodo — proprietà scoperta da Galileo osservando le oscillazioni di una lampada in duomo a Pisa.
• Pulsazione naturale: $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ cresce con la rigidità della molla e decresce con la massa. Una molla più dura → oscillazioni più rapide; una massa maggiore → oscillazioni più lente.
• Frequenza: $f = 1/T = \omega_0/(2\pi)$ in hertz (Hz), il numero di oscillazioni complete al secondo.

Esempi reali di MAS:

• Massa attaccata a una molla ideale (prototipo del modello).
• Moto di una molecola biatomica vicino all'equilibrio (potenziale di Morse approssimato a parabola).
• Circuito LC (induttanza-capacità): l'equazione $L\ddot{q} + q/C = 0$ è formalmente identica, con $q$ (carica) ↔ $x$, $L$ ↔ $m$, $1/C$ ↔ $k$.
• Pendolo semplice per piccoli angoli (si veda §3).

Analisi dimensionale: $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ ha dimensioni $\sqrt{[k]/[m]} = \sqrt{(M T^{-2})/M} = T^{-1}$, cioè rad/s. Verifica che $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ abbia dimensioni $T$ (secondi), come deve essere per un periodo.

Derivando $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)$ rispetto al tempo si ottengono velocità e accelerazione istantanee:

• $v(t) = \dot{x}(t) = -A\omega_0\sin(\omega_0 t + \phi)$
• $a(t) = \ddot{x}(t) = -A\omega_0^2\cos(\omega_0 t + \phi) = -\omega_0^2\,x(t)$

L'accelerazione è sempre proporzionale e opposta allo spostamento: $a = -\omega_0^2 x$. Nei punti estremi ($x = \pm A$) l'accelerazione è massima in modulo e la velocità è zero; al centro ($x = 0$) l'accelerazione è zero e la velocità è massima. C'è quindi uno sfasamento di $\pi/2$ tra posizione e velocità, e di $\pi$ tra posizione e accelerazione.

Energia meccanica: la forza elastica è conservativa (dipende solo dalla posizione), quindi l'energia meccanica totale $E = K + U$ si conserva. L'energia cinetica e l'energia potenziale sono: $$K = \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2}m\omega_0^2 A^2\sin^2(\omega_0 t + \phi)$$ $$U = \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega_0 t + \phi)$$ Sommando, e ricordando $\omega_0^2 = k/m$: $E = \tfrac{1}{2}kA^2[\sin^2(\cdot) + \cos^2(\cdot)] = \tfrac{1}{2}kA^2 = \text{costante}$. L'energia totale è quindi proporzionale al quadrato dell'ampiezza.

Scambio ciclico di energia:

• Quando $x = \pm A$ (estremi): $v = 0$, $U = E$, $K = 0$ — tutta l'energia è potenziale.
• Quando $x = 0$ (equilibrio): $v = \pm v_{max}$, $K = E$, $U = 0$ — tutta l'energia è cinetica.
• In qualsiasi posizione intermedia: $E = K + U = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$.

Velocità massima: $v_{max} = \omega_0 A = A\sqrt{k/m}$. Si ricava dall'energia: $\tfrac{1}{2}mv_{max}^2 = E = \tfrac{1}{2}kA^2$.

Relazione velocità-posizione: dalla conservazione dell'energia si ottiene una relazione utile senza tempo esplicito: $$v(x) = \pm\omega_0\sqrt{A^2 - x^2}$$ Il segno dipende dalla direzione del moto. Questa formula mostra che la velocità è massima al centro ($x=0$, $v = \pm\omega_0 A$) e zero agli estremi ($x = \pm A$).

Grafico energetico: il diagramma $U(x) = \tfrac{1}{2}kx^2$ è una parabola. L'energia totale $E$ è una retta orizzontale. I punti di intersezione ($U(x) = E$) definiscono i punti di inversione $x = \pm A$, dove $K = 0$. La particella oscilla tra questi due punti come una pallina che rotola in una ciotola parabolica, convertendo continuamente energia cinetica in potenziale e viceversa.

Il pendolo semplice è una massa puntiforme $m$ sospesa a un filo inestensibile di lunghezza $L$ e massa trascurabile. La forza di richiamo è la componente tangenziale del peso: $F = -mg\sin\theta$. Scrivendo l'equazione del moto (II legge di Newton lungo la tangente alla traiettoria circolare): $$mL\ddot{\theta} = -mg\sin\theta \quad \longrightarrow \quad \ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0$$ Questa è un'equazione non lineare (a causa del $\sin\theta$). Per risolverla analiticamente, usiamo l'approssimazione di piccoli angoli: per $\theta \ll 1\,\mathrm{rad}$ (cioè $\theta \lesssim 10°$), lo sviluppo in serie di Taylor dà $\sin\theta = \theta - \theta^3/6 + \ldots \approx \theta$. Trattenendo solo il primo termine: $$\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0$$ che è formalmente identica all'equazione del MAS ($\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$) con: $$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$
Proprietà fondamentali:

• Indipendenza dalla massa: il periodo del pendolo semplice non dipende dalla massa $m$. Galileo lo dedusse sperimentalmente osservando che pendoli di masse diverse ma stessa lunghezza oscillano con lo stesso periodo (a parità di ampiezza). La massa si semplifica nell'equazione del moto perché compare sia nella forza di richiamo ($mg$) sia nell'inerzia ($mL$).
• Isocronismo approssimato: per piccole oscillazioni, $T$ non dipende dall'ampiezza. Per ampiezze maggiori, il periodo effettivo è maggiore di quello approssimato (si può correggere con $T \approx 2\pi\sqrt{L/g}\,(1 + \theta_0^2/16 + \ldots)$).
• Dipendenza da $g$: misurando $T$ per un $L$ noto, si può determinare $g$ con precisione. Questo è il principio dei gravimetri a pendolo usati in geofisica.

Pendolo fisico (composto): è un corpo rigido qualsiasi che oscilla attorno a un perno orizzontale. Sia $d$ la distanza tra il perno e il centro di massa, e $I$ il momento d'inerzia rispetto al perno. L'equazione del moto (dalla II legge di Newton per le rotazioni, $\tau = I\alpha$) dà: $$I\ddot{\theta} = -Mgd\sin\theta \quad \longrightarrow \quad \ddot{\theta} + \frac{Mgd}{I}\theta = 0$$ quindi $\omega_0 = \sqrt{Mgd/I}$ e $T = 2\pi\sqrt{I/(Mgd)}$. La lunghezza equivalente del pendolo semplice che oscilla con lo stesso periodo è $L_{eq} = I/(Md)$.

Applicazioni storiche:

• Galileo (1583): scopre l'isocronismo del pendolo osservando una lampada nella cattedrale di Pisa.
• Huygens (1656): inventa l'orologio a pendolo, migliorando di due ordini di grandezza la precisione nella misura del tempo.
• Il metro fu originariamente definito come la lunghezza del pendolo con $T = 2\,\mathrm{s}$ (oggi la definizione è diversa).

Nota sull'approssimazione: lo scarto tra $\sin\theta$ e $\theta$ è di circa lo 0.5% a $\theta = 10°$ e del 4% a $\theta = 30°$. La formula approssimata è quindi affidabile per $\theta \lesssim 15°$.

In presenza di una forza di smorzamento viscoso $F_{sm} = -b\dot{x}$ (proporzionale e opposta alla velocità, come quella esercitata da un fluido a bassa velocità), l'equazione del moto diventa: $$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0$$ Dividendo per $m$ e introducendo i parametri standard: $$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0, \qquad \gamma = \frac{b}{2m}, \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $\gamma$ è il coefficiente di smorzamento (in $\mathrm{s}^{-1}$). L'equazione caratteristica $\lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0$ ha radici $\lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$, il cui segno discriminante determina il regime di smorzamento.

I tre regimi di smorzamento:

• Sottosmorzato ($\gamma < \omega_0$): il discriminante è negativo, le radici sono complesse coniugate $\lambda = -\gamma \pm i\omega_1$ con $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$. La soluzione è un'oscillazione sinusoidale con ampiezza che decade esponenzialmente: $$x(t) = A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega_1 t + \phi)$$ L'inviluppo esponenziale $e^{-\gamma t}$ descrive la dissipazione di energia. La costante di tempo $\tau = 1/\gamma$ è il tempo per ridurre l'ampiezza di un fattore $e$.
• Critico ($\gamma = \omega_0$): le radici sono reali e coincidenti $\lambda = -\gamma$. La soluzione è $x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-\gamma t}$, che torna all'equilibrio nel tempo più breve possibile senza oscillare. È il regime ideale per ammortizzatori di auto, porte chiudiporta, e strumenti di misura a molla.
• Sovrasmorzato ($\gamma > \omega_0$): radici reali e distinte, entrambe negative. La soluzione è $x(t) = C_1 e^{-\lambda_1 t} + C_2 e^{-\lambda_2 t}$, con ritorno all'equilibrio più lento rispetto al caso critico.

Energia e smorzamento: in presenza di attrito viscoso, l'energia meccanica non si conserva più. La potenza dissipata è: $$P_{diss} = F_{sm}\cdot v = -bv^2$$ sempre negativa (energia persa per attrito). L'energia totale decade come $E(t) \approx E_0 e^{-2\gamma t}$ per smorzamento debole.

Esempi fisici:

• Ammortizzatori auto: tarati vicino allo smorzamento critico per garantire un ritorno rapido senza oscillazioni dopo una buca.
• Porte con chiudiporta: meccanismo a fluido viscoso che evita che la porta sbatte producendo oscillazioni.
• Galvanometro: l'ago è smorzato criticamente per arrivare rapidamente al valore di misura senza oscillare.
• Sismometri: spesso sovrasmorzati per evitare oscillazioni parassite.

Fattore di qualità: $Q = \omega_0/(2\gamma)$ misura lo smorzamento: $Q$ alto ↔ smorzamento debole ↔ oscillazioni che persistono a lungo. In termini energetici, $Q = 2\pi \times (\text{energia immagazzinata})/(\text{energia persa per ciclo})$.

Quando un oscillatore smorzato viene sottoposto a una forza periodica esterna $F(t) = F_0\cos(\omega t)$, l'equazione del moto diventa: $$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t)$$ La soluzione generale è somma di due contributi:

• Transiente: la soluzione dell'omogenea (oscillazione smorzata) che si esaurisce dopo un tempo $\sim 1/\gamma$.
• Regime stazionario (particolare): un'oscillazione alla frequenza della forzante $\omega$, con ampiezza $A(\omega)$ e fase $\delta$.

La soluzione stazionaria è $x(t) = A(\omega)\cos(\omega t - \delta)$, con ampiezza: $$A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}$$ e sfasamento $\delta = \arctan\left(\frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}\right)$.

Risonanza: l'ampiezza $A(\omega)$ raggiunge il suo massimo quando il denominatore è minimo, cioè per: $$\omega_{ris} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} \approx \omega_0 \quad (\gamma \ll \omega_0)$$ Alla risonanza, l'ampiezza è $A_{max} = \dfrac{F_0}{2m\gamma\omega_0} = \dfrac{F_0}{b\omega_0}$. Per $\gamma \to 0$, $A_{max} \to \infty$ — l'oscillatore "assorbe" energia dalla forzante con massima efficienza.

Sfasamento alla risonanza: quando $\omega = \omega_0$, si ha $\delta = \pi/2$ (la velocità è in fase con la forzante, quindi la potenza $P = F\cdot v$ è massima). Per $\omega \ll \omega_0$, $\delta \approx 0$ (moto in fase con la forzante). Per $\omega \gg \omega_0$, $\delta \approx \pi$ (moto in opposizione di fase).

Fattore di qualità e larghezza di banda: $$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{\omega_0 m}{b}$$ La larghezza di banda $\Delta\omega$ (differenza tra le frequenze a cui $A = A_{max}/\sqrt{2}$) è legata a $Q$ da: $$\Delta\omega = \frac{\omega_0}{Q} = 2\gamma$$ Un $Q$ elevato significa risonanza stretta e alta (picco acuto), un $Q$ basso significa risonanza larga e bassa.

Esempi e applicazioni:

• Tacoma Narrows Bridge (1940): il ponte entrò in risonanza con raffiche di vento periodiche, producendo oscillazioni torsionali sempre più ampie fino al collasso. Esempio classico dei pericoli della risonanza in ingegneria civile.
• Circuito RLC: la risonanza in un circuito $LCR$ è analoga: $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $Q = \frac{1}{R}\sqrt{L/C}$. I circuiti risonanti sono alla base della sintonia radio.
• Strumenti musicali: la cassa armonica di violino o chitarra amplifica selettivamente certe frequenze (risonanza acustica).
• Bicchiere di cristallo: un cantante lirico può frantumarlo se la voce ha la frequenza di risonanza del vetro e l'ampiezza sufficiente.
• Risonanza magnetica (MRI): nuclei atomici in campo magnetico assorbono onde radio alla frequenza di Larmor ($\omega = \gamma B_0$), principio della risonanza magnetica nucleare e della diagnostica per immagini.

Curva di risposta: il grafico $A(\omega)$ è detto curva di risonanza. Al crescere di $\gamma$, il picco si abbassa e si allarga, spostandosi leggermente verso sinistra ($\omega_{ris} < \omega_0$). Per $\gamma \ge \omega_0/\sqrt{2}$, non c'è più un massimo pronunciato (sistema sovrasmorzato).