Gravitazione — Keplero e Newton

La legge di gravitazione universale di Newton afferma che due corpi puntiformi si attraggono con una forza proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza: $$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$ dove $G = 6.674\times10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$ è la costante di gravitazione universale.

Caratteristiche fondamentali:

• Sempre attrattiva: non esiste "antigravità". La forza è sempre diretta lungo la congiungente i due corpi.
• Raggio d'azione infinito: a differenza delle forze nucleari, la gravità non si scherma e decade come $1/r^2$, quindi a distanza doppia la forza è 1/4.
• Universalità: vale per qualsiasi coppia di masse, dalla mela che cade al sistema solare alla galassia.
• Massima tra le forze fondamentali sulla scala cosmica, ma la più debole sulla scala delle particelle (circa $10^{-40}$ volte la forza elettromagnetica).

Peso e accelerazione di gravità: il peso di un corpo sulla superficie terrestre è $P = mg$, dove $g = GM_T/R_T^2 = 9.81\,\mathrm{m/s^2}$. Questo spiega perché $g$ è indipendente dalla massa del corpo: tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione (esperimento di Galileo, confermato sulla Luna dall'Apollo 15 con piuma e martello).

La forza di gravità è responsabile della struttura dell'universo: tiene i pianeti in orbita, lega le galassie, controlla l'espansione cosmica.

Il campo gravitazionale $\vec{g}(r)$ è la forza per unità di massa che agirebbe su un corpo posto in un punto dello spazio: $$\vec{g}(r) = -\frac{GM}{r^2}\,\hat{r}$$ Il segno negativo indica che il campo punta sempre verso la massa sorgente. In superficie, $\vec{g} = -g\,\hat{z}$.

Il potenziale gravitazionale $V(r)$ è l'energia potenziale per unità di massa: $$V(r) = -\frac{GM}{r}$$ La convenzione $V(\infty) = 0$ (potenziale zero all'infinito) rende $V(r)$ sempre negativo: servirebbe energia positiva per portare una massa dall'infinito fino a distanza $r$. L'energia potenziale di una massa $m$ è $U = mV = -GMm/r$.

Il campo si ricava dal potenziale come gradiente: $\vec{g} = -\nabla V$. In 1D: $g(r) = -dV/dr$. Questo significa che il potenziale è più utile del campo per molti calcoli, perché è uno scalare.

Energia di un satellite in orbita:

• $E < 0$: orbita chiusa (ellisse o cerchio). Il satellite è legato gravitazionalmente.
• $E = 0$: orbita parabolica. Velocità di fuga — il satellite raggiunge l'infinito con velocità zero.
• $E > 0$: orbita iperbolica. Il satellite arriva dall'infinito, viene deviato e riparte all'infinito.

Per un'orbita circolare di raggio $r$: $E = -GMm/(2r) = -KE$ (metà dell'energia potenziale).

Le tre leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti attorno al Sole. Furono dedotte da osservazioni empiriche (Tycho Brahe e Keplero, 1609-1619) e successivamente spiegate da Newton con la legge di gravitazione universale.

I legge (orbite ellittiche): ogni pianeta orbita attorno al Sole seguendo un'ellisse, con il Sole in uno dei due fuochi. L'ellisse è caratterizzata dal semiasse maggiore $a$ e dall'eccentricità $e$ ($0 \leq e < 1$). In coordinate polari (Sole in un fuoco): $$r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$$ dove $p = a(1-e^2)$ è il semilato retto. Per $e = 0$ si ha un'orbita circolare ($r = a$).

II legge (aree uguali): il raggio vettore che collega il Sole al pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. Questa legge è equivalente alla conservazione del momento angolare: $dA/dt = L/(2m) = \mathrm{costante}$. Il pianeta viaggia più veloce al perielio (vicino al Sole) e più lentamente all'afelio (lontano), perché l'area spazzata per unità di tempo deve essere costante.

III legge (periodi): il quadrato del periodo orbitale $T$ è proporzionale al cubo del semiasse maggiore $a$, con la stessa costante per tutti i pianeti: $$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,a^3$$ dove $M$ è la massa del Sole. Questa legge permette di calcolare il periodo di qualsiasi satellite conoscendo $a$, o viceversa di ricavare la massa del corpo centrale conoscendo $T$ e $a$. Un satellite geostazionario a $a = 42160\,\mathrm{km}$ ha $T = 24\,\mathrm{h}$.

La velocità di fuga è la velocità minima necessaria per abbandonare definitivamente l'attrazione gravitazionale di un corpo celeste. Si ottiene imponendo che l'energia totale sia zero (al limite tra orbita chiusa e aperta): $$\tfrac{1}{2}mv_{fuga}^2 - \frac{GMm}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_{fuga} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$ A questa velocità, il corpo raggiunge l'infinito con velocità residua nulla. Se $v < v_{fuga}$ l'orbita è chiusa (ellisse o cerchio), se $v > v_{fuga}$ è iperbolica.

Velocità orbitale circolare: su un'orbita circolare di raggio $r$, la forza centripeta è fornita dalla gravità: $$\frac{mv_{orb}^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$ Nota che $v_{fuga} = \sqrt{2}\,v_{orb}$: la velocità di fuga è $\sqrt{2} \approx 1.414$ volte la velocità orbitale alla stessa distanza.

Energia orbitale: per un'orbita ellittica di semiasse maggiore $a$: $$E_{orb} = -\frac{GMm}{2a}$$ Per un'orbita circolare ($a = r$): $E = -GMm/(2r)$. L'energia totale è negativa (orbita legata) e metà dell'energia potenziale.

Velocità di fuga dai vari corpi:

• Terra: $\approx 11.2\,\mathrm{km/s}$
• Luna: $\approx 2.37\,\mathrm{km/s}$
• Sole (dalla superficie): $\approx 618\,\mathrm{km/s}$
• Buco nero: $v_{fuga} > c$, quindi nemmeno la luce fugge