Moti Relativi

Consideriamo due sistemi di riferimento: un sistema S (fisso, inerziale) e un sistema S' (mobile) che si muove rispetto a S. Un punto materiale A viene osservato da entrambi i sistemi. I tre vettori coinvolti nella descrizione della posizione di A sono:

• $\vec{r}_A$ — posizione assoluta di A, misurata da un osservatore in S rispetto all'origine O di S. È il vettore che va da O (fisso) al punto A.
• $\vec{r}_{O'}$ — posizione dell'origine di S' rispetto a S. Descrive dove si trova il sistema mobile S' visto da S. Quando S' trasla, questo vettore varia nel tempo; la sua derivata è la velocità di trascinamento.
• $\vec{r}_{A/S'}$ — posizione relativa di A misurata nel sistema S'. È la posizione di A rispetto all'origine O' di S', cioè le coordinate che un osservatore solidale con S' assegna al punto A. Fisicamente: se fossi su S', questo è il vettore che userei per dire "A è qui rispetto a me".

La relazione fondamentale che lega i tre vettori è: $$\vec{r}_A = \vec{r}_{O'} + \vec{r}_{A/S'}$$ Interpretazione: per sapere dove si trova A nel sistema fisso S, devo sommare la posizione di S' (rispetto a S) più la posizione di A così come viene vista da S'. È una somma vettoriale: se S' è spostato di $\vec{r}_{O'}$ e in S' il punto A si trova in $\vec{r}_{A/S'}$, allora in S la posizione di A è la diagonale del parallelogramma formato dai due vettori. Nota sulla notazione: il pedice "A/S'" si legge "di A rispetto a S'". Non è una frazione, ma indica che la misura è fatta da un osservatore in S'. La barra "/" separa l'oggetto osservato (A) dal sistema di riferimento (S') in cui viene osservato.

Se il sistema S' trasla rispetto a S (senza ruotare), deriviamo la relazione delle posizioni rispetto al tempo per ottenere le velocità. La derivata temporale si distribuisce linearmente: $$\frac{d\vec{r}_A}{dt} = \frac{d\vec{r}_{O'}}{dt} + \frac{d\vec{r}_{A/S'}}{dt}$$ Otteniamo così la legge di composizione delle velocità per traslazione pura: $$\vec{v}_A = \vec{v}_{A/S'} + \vec{v}_{S'/S}$$ dove:

• $\vec{v}_A$ — velocità assoluta di A misurata in S (la derivata di $\vec{r}_A$).
• $\vec{v}_{A/S'}$ — velocità relativa di A misurata da un osservatore in S' (la derivata di $\vec{r}_{A/S'}$). È la velocità che vedresti se fossi su S'.
• $\vec{v}_{S'/S}$ — velocità di trascinamento (o velocità di S' rispetto a S). È la derivata di $\vec{r}_{O'}$. Non dipende da A: è la velocità con cui l'intero sistema S' si muove rispetto a S.

In forma compatta: $$\vec{v}_{ass} = \vec{v}_{rel} + \vec{v}_{trasc}$$ Importante: questa relazione vale solo per traslazione pura (S' non ruota). Se S' ruota, compare un termine aggiuntivo $\vec{\omega} \times \vec{r}_{A/S'}$, come vedremo nel §4. Il significato fisico è intuitivo: se cammini in un treno in movimento, la tua velocità rispetto al suolo è la somma della velocità del treno più la velocità con cui cammini rispetto al treno.

Derivando ulteriormente la relazione delle velocità, otteniamo la composizione delle accelerazioni per traslazione pura: $$\vec{a}_A = \vec{a}_{A/S'} + \vec{a}_{S'/S}$$

• $\vec{a}_A$ — accelerazione assoluta (misurata in S).
• $\vec{a}_{A/S'}$ — accelerazione relativa (misurata in S').
• $\vec{a}_{S'/S}$ — accelerazione di trascinamento (di S' rispetto a S).

Caso 1 — S' inerziale (MRU): se $\vec{a}_{S'/S} = 0$ (S' si muove di moto rettilineo uniforme), allora $\vec{a}_A = \vec{a}_{A/S'}$. Le accelerazioni misurate nei due sistemi coincidono. Da qui il Principio di Relatività Galileiana: le leggi della meccanica sono identiche in tutti i sistemi inerziali. Un esperimento meccanico non può rivelare se il sistema è fermo o in MRU. Caso 2 — S' accelerante: se $\vec{a}_{S'/S} \neq 0$, nel sistema S' la II legge di Newton non vale nella forma $\vec{F} = m\vec{a}_{A/S'}$: per un osservatore in S' compare una forza fittizia (o apparente) proporzionale alla massa e opposta all'accelerazione di S': $$\vec{F}_{app} = -m\,\vec{a}_{S'/S}$$ Questa non è una forza reale (non ha un agente fisico che la esercita), ma è necessaria per descrivere il moto in S' come se fosse un sistema inerziale. Esempio: in ascensore che accelera verso l'alto, senti il pavimento spingerti di più (peso apparente maggiore). Per un osservatore esterno (S a terra), è la normale del pavimento a fornire l'accelerazione; per te dentro l'ascensore (S'), la forza fittizia $-m\vec{a}_{S'/S}$ verso il basso si aggiunge al peso reale.

Quando il sistema S' non solo trasla ma anche ruota con velocità angolare $\vec{\omega}$ rispetto a S, la derivata di un vettore $\vec{A}$ misurata nei due sistemi differisce a causa del moto rotatorio dei versori di S'. Il teorema della derivata relativa (o formula di Poisson) stabilisce: $$\left(\frac{d\vec{A}}{dt}\right)_S = \left(\frac{d\vec{A}}{dt}\right)_{S'} + \vec{\omega}\times\vec{A}$$ Interpretazione:

• $\left(d\vec{A}/dt\right)_S$ — variazione di $\vec{A}$ vista da S (sistema fisso).
• $\left(d\vec{A}/dt\right)_{S'}$ — variazione di $\vec{A}$ vista da S' (sistema rotante).
• $\vec{\omega}\times\vec{A}$ — termine correttivo dovuto alla rotazione di S'. Se S' non ruota ($\vec{\omega}=0$), i due sistemi misurano la stessa derivata.

Perché serve questo termine? In S' i versori $\hat{e}_x'$, $\hat{e}_y'$, $\hat{e}_z'$ ruotano con S': la loro derivata temporale non è zero come in S, ma vale $\dot{\hat{e}}_i' = \vec{\omega} \times \hat{e}_i'$. Quando esprimiamo $\vec{A} = \sum A_i' \hat{e}_i'$ e la deriviamo, il termine $\sum A_i' \dot{\hat{e}}_i'$ produce esattamente $\vec{\omega} \times \vec{A}$. Questo teorema è fondamentale perché permette di passare dalle derivate in un sistema rotante a quelle in un sistema inerziale, e viceversa. Lo useremo nel §5 per ricavare velocità e accelerazione in sistemi rotanti.

Applichiamo il teorema della derivata relativa al vettore posizione $\vec{r}_A$ per ottenere la velocità in un sistema S' che ruota e trasla: $$\vec{v}_A = \vec{v}_{A/S'} + \vec{\omega}\times\vec{r}_{A/S'} + \vec{v}_{O'/S}$$ dove $\vec{\omega}\times\vec{r}_{A/S'}$ è il contributo di trascinamento rotazionale: anche se A fosse fermo in S', ruoterebbe insieme a S'. Derivando ancora otteniamo l'accelerazione. In S' compaiono termini aggiuntivi che, moltiplicati per la massa, danno le forze fittizie: 1. Forza centrifuga $\vec{F}_{cf} = m\omega^2 r_\perp \hat{r}_\perp$

• Diretta radialmente verso l'esterno.
• Dipende solo dalla posizione ($r_\perp$ è la distanza dall'asse di rotazione), non dalla velocità relativa.
• È responsabile della curvatura della superficie degli oceani all'equatore e dello schiacciamento polare della Terra.

2. Forza di Coriolis $\vec{F}_{Cor} = -2m\,\vec{\omega}\times\vec{v}_{A/S'}$

• Dipende dalla velocità relativa $\vec{v}_{A/S'}$: un corpo fermo in S' non la subisce.
• È sempre perpendicolare sia a $\vec{\omega}$ sia a $\vec{v}_{A/S'}$ → devia il moto senza compiere lavoro.
• Sulla Terra devia i proiettili, i venti e le correnti oceaniche: verso destra nell'emisfero nord, verso sinistra in quello sud.
• Spiega la rotazione antioraria dei cicloni nell'emisfero boreale e oraria in quello australe.

3. Forza di trascinamento lineare (se S' accelera anche in traslazione): $\vec{F}_{trasc} = -m\vec{a}_{O'/S}$. Nel caso particolare di S' in rotazione uniforme attorno a un asse fisso ($\vec{v}_{O'/S}=0$, $\vec{a}_{O'/S}=0$), l'accelerazione assoluta si scompone in: $$\vec{a}_A = \vec{a}_{A/S'} + 2\vec{\omega}\times\vec{v}_{A/S'} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_{A/S'})$$ dove $2\vec{\omega}\times\vec{v}_{A/S'}$ è l'accelerazione di Coriolis e $\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_{A/S'})$ è l'accelerazione centrifuga.