Dinamica e Leggi di Conservazione

Il I principio della dinamica (principio d'inerzia) stabilisce che un corpo su cui non agiscono forze, o su cui la risultante delle forze è zero, mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. In formule: $\vec{F}_{ris} = 0 \iff \vec{v} = \mathrm{costante}$.

Questa affermazione sembra ovvia, ma ha rivoluzionato la fisica prima di Newton: fino a Galileo si credeva che per mantenere un corpo in moto servisse una forza continua. L'intuizione di Galileo (e poi il principio di Newton) chiarisce che una forza serve per cambiare lo stato di moto, non per mantenerlo. Se spingi un libro su un tavolo, quando smetti di spingere il libro si ferma — ma non per mancanza di forza applicata, bensì per l'attrito. Senza attrito, il libro proseguirebbe all'infinito.

Sistema inerziale: è un sistema di riferimento in cui vale il I principio. In pratica, un sistema inerziale non accelera e non ruota rispetto alle stelle fisse. La Terra è un'approssimazione eccellente di sistema inerziale per molti esperimenti quotidiani, anche se in realtà ruota e orbita (effetti misurabili come il pendolo di Foucault o la forza di Coriolis).

Importanza concettuale: il I principio definisce cosa intendiamo per "forza nulla" e ci permette di identificare i sistemi inerziali. È il fondamento su cui si reggono il II e il III principio.

Il II principio della dinamica è l'equazione fondamentale del moto: la forza risultante applicata a un corpo è uguale al prodotto della sua massa per l'accelerazione: $$\vec{F}_{ris} = m\,\vec{a}$$
Significato:

• La massa inerziale $m$ è la misura della resistenza di un corpo al cambiamento del suo stato di moto. A parità di forza, un corpo più massiccio accelera meno.
• La forza risultante $\vec{F}_{ris}$ è la somma vettoriale di tutte le forze agenti sul corpo. Non è una forza aggiuntiva, ma il bilancio complessivo.
• L'accelerazione $\vec{a}$ ha la stessa direzione e verso della forza risultante.

Scomposizione nelle componenti: in coordinate cartesiane, l'equazione vettoriale si scompone in tre equazioni scalari indipendenti: $$\sum F_x = m\,a_x \qquad \sum F_y = m\,a_y \qquad \sum F_z = m\,a_z$$
Esempio: per spingere una cassa di 50 kg con una forza di 100 N, l'accelerazione è $a = F/m = 100/50 = 2\,\mathrm{m/s^2}$. Se la stessa forza agisce su una cassa di 25 kg, l'accelerazione raddoppia a $4\,\mathrm{m/s^2}$.

Il III principio della dinamica (principio di azione e reazione) afferma che se un corpo A esercita una forza su un corpo B, allora B esercita una forza su A uguale in modulo e opposta in verso: $$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$$
Punto cruciale: le due forze agiscono su corpi diversi. Non si sommano e non si annullano a vicenda. Questo è l'errore più comune: se spingi un muro, il muro spinge te con la stessa forza in direzione opposta — ma tu non acceleri perché il pavimento ti trattiene (attrito), mentre il muro non accelera perché è fissato al pavimento.

Esempi:

• Camminare: il piede spinge il pavimento all'indietro ($\vec{F}_{piede/pavimento}$), il pavimento spinge il piede in avanti ($\vec{F}_{pavimento/piede}$). È questa reazione del pavimento che ti fa camminare.
• Razzo: espelle gas all'indietro, i gas spingono il razzo in avanti.
• Peso e normale: un libro sul tavolo: la Terra attrae il libro (peso), il tavolo reagisce spingendo il libro verso l'alto (normale). Non sono una coppia azione-reazione (agiscono sullo stesso corpo)! La reazione al peso è l'attrazione del libro sulla Terra.

In meccanica classica incontriamo continuamente alcune forze specifiche. Ecco le più importanti:

Peso ($P = mg$): la forza con cui la Terra attrae un corpo verso il suo centro. È sempre verticale, verso il basso. Sulla superficie terrestre $g \approx 9.81\,\mathrm{m/s^2}$ (varia leggermente con latitudine e altitudine). La massa $m$ è una proprietà intrinseca del corpo; il peso $P = mg$ dipende dal luogo (sulla Luna lo stesso corpo pesa 1/6).

Reazione normale ($N$): la forza che una superficie esercita su un corpo appoggiato. È sempre perpendicolare alla superficie. In assenza di altre forze verticali, bilancia il peso ($N = mg$). Su un piano inclinato di angolo $\theta$, la componente del peso perpendicolare è $mg\cos\theta$, e quindi $N = mg\cos\theta$.

Piano inclinato: il peso si scompone in:

• $P_{\parallel} = mg\sin\theta$ — parallela al piano, tende a far scivolare il corpo.
• $P_{\perp} = mg\cos\theta$ — perpendicolare al piano, bilanciata da $N$.

Attrito: forza che si oppone al movimento relativo tra due superfici a contatto:

• Attrito statico ($f_s$): impedisce l'inizio del moto. $f_s \leq \mu_s N$. Il valore massimo prima che il corpo si muova è $\mu_s N$.
• Attrito dinamico ($f_d$): si oppone al moto quando il corpo striscia. $f_d = \mu_d N$. Di solito $\mu_d < \mu_s$.

Attenzione: $N$ non è sempre uguale a $mg$! Se premi un oggetto contro una parete verticale, $N$ è orizzontale e $P$ è verticale. Se tiri un oggetto verso l'alto con una fune, $N = mg - T$, minore del peso.

Il lavoro è l'energia trasferita a un corpo tramite l'azione di una forza. Se una forza costante $\vec{F}$ agisce su un corpo che si sposta di $\vec{d}$, il lavoro è: $$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F\,d\cos\theta$$ dove $\theta$ è l'angolo tra la forza e lo spostamento.

• $\theta = 0°$: lavoro massimo positivo (forza e spostamento nello stesso verso).
• $\theta = 90°$: lavoro nullo (forza perpendicolare allo spostamento). Esempio: la forza centripeta non compie lavoro.
• $\theta = 180°$: lavoro massimo negativo (forza opposta allo spostamento). Esempio: l'attrito.

Per una forza variabile lungo un percorso, il lavoro si calcola con l'integrale di linea: $$W = \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot d\vec{s}$$
Teorema Lavoro-Energia: il lavoro totale compiuto da tutte le forze (interne ed esterne, conservative e non) su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica: $$W_{tot} = \Delta KE = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2$$ Questo teorema è sempre valido, indipendentemente dal tipo di forze. È uno dei risultati più utili della meccanica.

Potenza: è la rapidità con cui viene compiuto lavoro: $P = dW/dt = \vec{F}\cdot\vec{v}$, misurata in watt (W = J/s). Una macchina potente può compiere più lavoro nello stesso tempo.

L'energia potenziale è l'energia "immagazzinata" in un sistema grazie alla posizione relativa delle sue parti. Per le forze conservative, esiste una funzione energia potenziale $U$ tale che il lavoro compiuto dalla forza è $W = -\Delta U$.

Energia potenziale gravitazionale (vicino alla superficie terrestre): $U_g = mgh$ dove $h$ è l'altezza rispetto a un livello di riferimento arbitrario. Quando un corpo cade, $U_g$ diminuisce e $KE$ aumenta, mantenendo costante la somma.

Energia potenziale elastica (molla): $U_e = \tfrac{1}{2}k\,x^2$, dove $k$ è la costante elastica e $x$ lo spostamento dalla posizione di equilibrio. La legge di Hooke: $F = -k\,x$ (la forza di richiamo è proporzionale e opposta allo spostamento).

Conservazione dell'energia meccanica: quando agiscono solo forze conservative (peso, elastica, gravitazionale), l'energia meccanica totale si conserva: $$E_{mec} = KE + U = \mathrm{costante}$$
In presenza di forze non conservative (attrito, resistenza dell'aria), l'energia meccanica non si conserva: il lavoro delle forze non conservative è uguale alla variazione di energia meccanica: $$W_{nc} = \Delta E_{mec}$$ L'energia "persa" si trasforma in calore (energia termica), ma l'energia totale dell'universo si conserva sempre (I principio della termodinamica).

Esempio: un pendolo: al punto più basso $KE$ è massima e $U_g$ minima; ai punti più alti $KE = 0$ e $U_g$ massima. Senza attrito, oscillerebbe all'infinito.