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CinematicaDifficile

Moto circolare con accelerazione variabile

Un punto percorre una circonferenza di raggio R = 0.20 m, inizialmente con velocità angolare ω₀ = 0.5 rad/s. A t = 0 accelera con α = 0.15·t rad/s³. Calcola a t = 6 s: velocità angolare, accelerazione totale e angolo con la tangente.
R aₙ aₜ ω
Dati forniti
R = 0.20 mω₀ = 0.5 rad/sα(t) = 0.15·t rad/s³t = 6 s
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  1. La velocità angolare aumenta perché c'è accelerazione angolare α. Ma α dipende dal tempo, quindi NON posso usare ω = ω₀ + αt (vale solo se α è costante): devo integrare α nel tempo. ω(t) = ω₀ + ∫₀ᵗ 0.15t dt = ω₀ + 0.075·t².
  2. Anche se la velocità fosse costante in modulo, il punto curva: la direzione della velocità cambia di continuo. Questo richiede un'accelerazione diretta verso il centro, detta centripeta: aₙ = ω²·R.
  3. Qui però la velocità sta anche aumentando in modulo: questa variazione è l'accelerazione tangenziale, diretta lungo la traiettoria. È legata all'accelerazione angolare da aₜ = R·α(t).
  4. aₙ (radiale) e aₜ (tangente) sono tra loro perpendicolari, quindi l'accelerazione totale è la loro somma vettoriale: il modulo si trova col teorema di Pitagora, a = √(aₜ² + aₙ²).
  5. L'angolo tra accelerazione totale e tangente misura quanto l'accelerazione punta verso il centro. Dal rapporto tra la componente radiale e quella tangenziale: θ = arctan(aₙ/aₜ).
Svolgimento completo
  1. La velocità angolare aumenta perché c'è accelerazione angolare α. Ma α dipende dal tempo, quindi NON posso usare ω = ω₀ + αt (vale solo se α è costante): devo integrare α nel tempo. ω(t) = ω₀ + ∫₀ᵗ 0.15t dt = ω₀ + 0.075·t².
    ω=ω0+0.075 t2=0.5+0.075⋅62\omega = \omega_0 + 0.075\,t^2 = 0.5 + 0.075\cdot 6^2
    ω=0.5+0.075⋅36=3.2 rad/s\omega = 0.5 + 0.075\cdot36 = \mathbf{3.2\,rad/s}.
  2. Anche se la velocità fosse costante in modulo, il punto curva: la direzione della velocità cambia di continuo. Questo richiede un'accelerazione diretta verso il centro, detta centripeta: aₙ = ω²·R.
    an=ω2R=3.22⋅0.20a_n = \omega^2 R = 3.2^2\cdot 0.20
    an=10.24⋅0.20=2.05 m/s2a_n = 10.24\cdot0.20 = \mathbf{2.05\,m/s^2}.
  3. Qui però la velocità sta anche aumentando in modulo: questa variazione è l'accelerazione tangenziale, diretta lungo la traiettoria. È legata all'accelerazione angolare da aₜ = R·α(t).
    at=R α=0.20⋅0.15⋅6a_t = R\,\alpha = 0.20\cdot 0.15\cdot 6
    at=0.20⋅0.9=0.18 m/s2a_t = 0.20\cdot0.9 = \mathbf{0.18\,m/s^2}.
  4. aₙ (radiale) e aₜ (tangente) sono tra loro perpendicolari, quindi l'accelerazione totale è la loro somma vettoriale: il modulo si trova col teorema di Pitagora, a = √(aₜ² + aₙ²).
    a=at2+an2a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}
    a=0.032+4.20≈2.06 m/s2a = \sqrt{0.032+4.20}\approx\mathbf{2.06\,m/s^2} (quasi tutta centripeta).
  5. L'angolo tra accelerazione totale e tangente misura quanto l'accelerazione punta verso il centro. Dal rapporto tra la componente radiale e quella tangenziale: θ = arctan(aₙ/aₜ).
    θ=arctan⁡ ⁣(anat)\theta = \arctan\!\left(\frac{a_n}{a_t}\right)
    θ=arctan⁡(11.4)≈85∘\theta = \arctan(11.4)\approx\mathbf{85^\circ}: accelerazione quasi radiale.
Risultato:ω=3.2\omega = 3.2 rad/s, a≈2.06a \approx 2.06 m/s², θ≈85°\theta \approx 85°
TeoriaCinematicaFormularioFisica 1

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