Dinamica del Corpo Rigido

Il momento di inerzia $I$ è l'analogo rotazionale della massa: se la massa $m$ misura quanto un corpo resiste all'accelerazione lineare ($F = ma$), il momento di inerzia $I$ misura quanto resiste all'accelerazione angolare ($\tau = I\alpha$). È una proprietà che dipende sia dalla massa totale sia da come essa è distribuita rispetto all'asse di rotazione.

Definizione formale:
$\displaystyle I = \sum_i m_i r_i^2 = \int r^2\,dm$

Per un sistema di $N$ particelle discrete, si somma il prodotto di ogni massa per il quadrato della sua distanza dall'asse di rotazione. Per un corpo continuo (solido omogeneo), $dm = \rho\,dV$ e $I = \int_V \rho r^2\,dV$, integrando su tutto il volume.

Intuizione fisica del $r^2$: perché la distanza compare al quadrato? Tre ragioni convergenti:

• Cinematica: a parità di velocità angolare $\omega$, una massa a distanza $r$ ha velocità lineare $v = \omega r$ ed energia cinetica $\frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m \omega^2 r^2$. Sommando: $K_{rot} = \frac{1}{2}\omega^2 \sum m_i r_i^2 = \frac{1}{2}I\omega^2$, da cui $I = \sum m_i r_i^2$.
• Momento angolare: il momento angolare di una particella è $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$; in modulo $mvr = m(\omega r)r = m\omega r^2$. Quindi $L = I\omega$.
• Geometria del braccio: la velocità è $\propto r$ e il braccio della quantità di moto è anch'esso $\propto r$ → effetto $\propto r^2$.

Dipende da cosa, NON dipende:

• $I$ dipende da: massa totale, forma, distribuzione della massa, scelta dell'asse di rotazione
• $I$ NON dipende da: velocità angolare, accelerazione angolare, tempo, presenza di altre forze

Conseguenza fisica: a parità di massa e raggio, un corpo con massa distribuita lontano dall'asse ha $I$ maggiore. Un anello ($I=mR^2$) è più difficile da accelerare di un disco ($I=\frac{1}{2}mR^2$); una sfera cava ($I=\frac{2}{3}mR^2$) più di una piena ($I=\frac{2}{5}mR^2$). Questo perché masse lontane dall'asse percorrono archi più lunghi a parità di angolo di rotazione.

Momenti di inerzia notevoli (corpi omogenei):

• Asta sottile, asse ⊥ al centro: $I = \tfrac{1}{12}mL^2$
• Asta sottile, asse ⊥ a un estremo: $I = \tfrac{1}{3}mL^2$
• Disco pieno / cilindro pieno, asse centrale: $I = \tfrac{1}{2}mR^2$
• Anello / cilindro cavo sottile, asse centrale: $I = mR^2$
• Sfera piena, asse diametrale: $I = \tfrac{2}{5}mR^2$
• Sfera cava sottile, asse diametrale: $I = \tfrac{2}{3}mR^2$
• Piastra rettangolare, asse ⊥ al centro: $I = \tfrac{1}{12}m(a^2 + b^2)$

Esempi reali:

• Volano: massa concentrata alla periferia per massimizzare $I$ e immagazzinare energia rotazionale, smorzando le fluttuazioni del moto nei motori a combustione.
• Mazza da baseball: la testa ha massa maggiore per aumentare $I$ e trasferire più energia alla palla.
• Funambolo: l'asta lunga e pesante aumenta $I$ dell'insieme, rallentando le oscillazioni angolari e dando più tempo per correggere l'equilibrio.
• Bicicletta: l'effetto giroscopico delle ruote ($I$ non trascurabile) contribuisce alla stabilità laterale.
• Ruota di bicicletta in rotazione: se la ruota è già in rotazione, oppone resistenza ai tentativi di cambiarne l'asse (precessione).

Il teorema di Steiner (o degli assi paralleli) permette di calcolare il momento d'inerzia $I$ rispetto a un qualsiasi asse, noto il momento $I_{CM}$ relativo all'asse parallelo passante per il centro di massa:

$I = I_{CM} + Md^2$

dove $d$ è la distanza tra i due assi paralleli e $M$ è la massa totale del corpo.

Dimostrazione intuitiva: spostando l'asse di rotazione di una distanza $d$, la distanza quadratica media delle masse dall'asse aumenta di $d^2$ per ogni particella. Per un sistema di $N$ particelle:
$I = \sum m_i (\vec{r}_i - \vec{d})\cdot(\vec{r}_i - \vec{d}) = \sum m_i r_i^2 - 2\vec{d}\cdot\sum m_i\vec{r}_i + d^2\sum m_i$
Il termine centrale è nullo perché $\sum m_i\vec{r}_i = M\vec{R}_{CM} = 0$ nel sistema del CM. Quindi $I = I_{CM} + Md^2$.

Quando si può usare? I due assi devono essere paralleli — il teorema non vale per assi non paralleli. Inoltre $I_{CM}$ deve essere calcolato rispetto a un asse passante per il CM.

Applicazioni tipiche:

• Pendolo fisico: una sbarra appesa a un'estremità oscilla con $I = \frac{1}{3}mL^2$ rispetto al perno, non $\frac{1}{12}mL^2$ rispetto al CM. Steiner permette di ottenere $I$ corretto e quindi il periodo $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd_{CM})}$.
• Oggetti composti: per calcolare $I$ di un sistema corpo+asse, si calcola $I_{CM}$ del corpo e si aggiunge $Md^2$ se l'asse è spostato.

Esempio — asta sottile:

• Rispetto al CM (asse ⊥): $I_{CM} = \tfrac{1}{12}mL^2$
• Rispetto a un estremo (stessa direzione): $I_{est} = I_{CM} + m\cdot(L/2)^2 = \tfrac{1}{12}mL^2 + \tfrac{1}{4}mL^2 = \tfrac{1}{3}mL^2$

Esempio — disco con perno fuori centro: un disco di massa $M$ e raggio $R$ ruota attorno a un asse parallelo all'asse centrale ma passante per un punto sul bordo. Allora $I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$. Il momento di inerzia triplica rispetto all'asse centrale!

Esempio reale — martello: un martello ruotato attorno all'impugnatura ha $I$ molto maggiore che se ruotato attorno al CM, perché la testa è lontana dall'asse. Questo rende più difficile accelerare il martello in rotazione, ma una volta in moto dà colpi più potenti.

L'analogo rotazionale della seconda legge di Newton $\vec{F} = m\vec{a}$ è:

$\displaystyle \vec{\tau} = I\vec{\alpha}$

dove $\vec{\tau}$ è il momento torcente (torque), $I$ il momento d'inerzia e $\vec{\alpha}$ l'accelerazione angolare.

Analogie complete tra traslazione e rotazione:

• Forza $\vec{F}$ → Momento torcente $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
• Massa $m$ → Momento d'inerzia $I = \int r^2\,dm$
• Accelerazione $\vec{a}$ → Accelerazione angolare $\vec{\alpha}$
• Quantità di moto $\vec{p} = m\vec{v}$ → Momento angolare $\vec{L} = I\vec{\omega}$
• Energia cinetica $K = \frac{1}{2}mv^2$ → $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$
• Lavoro $W = \int \vec{F}\cdot d\vec{s}$ → $W = \int \vec{\tau}\cdot d\vec{\theta}$
• Potenza $P = \vec{F}\cdot\vec{v}$ → $P = \vec{\tau}\cdot\vec{\omega}$

Il momento torcente (torque) in dettaglio:
$\tau = rF\sin\theta = r_\perp F$

$r_\perp = r\sin\theta$ è il braccio della forza: la distanza perpendicolare dall'asse di rotazione alla retta d'azione della forza. Il torque è massimo quando la forza è perpendicolare ($\theta = 90°$), nullo quando è parallela ($\theta = 0°$).

Direzione del torque (regola della mano destra): puntando le dita nella direzione di $\vec{r}$ e chiudendole verso $\vec{F}$, il pollice indica la direzione di $\vec{\tau}$. Per un corpo che ruota nel piano, il torque è uscente dal foglio (positivo, antiorario) o entrante (negativo, orario).

Esempi quotidiani di torque:

• Porta: è molto più facile aprirla spingendo lontano dai cardini (braccio grande) che vicino (braccio piccolo). La maniglia è posta sul lato opposto ai cardini proprio per massimizzare il braccio.
• Chiave inglese: un manico lungo aumenta il braccio, producendo lo stesso torque con meno forza. Per bulloni ostinati si usa una chiave più lunga o un estensore.
• Pedali della bicicletta: la forza è applicata perpendicolarmente al pedale quando è orizzontale, massimizzando $\tau$ e quindi l'accelerazione angolare della ruota dentata.
• Bilanciere: forze uguali a distanze diverse dal fulcro producono torques diversi — principio della leva di Archimede.

Lavoro, energia e potenza in rotazione:
Il lavoro compiuto da un torque costante che ruota di un angolo $\Delta\theta$ è $W = \tau\Delta\theta$, analogo a $W = F\Delta s$. La potenza è $P = \tau\omega$.

Dimostrazione del legame lavoro-energia: $W = \int \tau\,d\theta = \int I\alpha\,d\theta = \int I\frac{d\omega}{dt}\,d\theta = \int I\frac{d\theta}{dt}\,d\omega = \int I\omega\,d\omega = \frac{1}{2}I\omega_f^2 - \frac{1}{2}I\omega_i^2 = \Delta K_{rot}$.

Il teorema dell'impulso angolare afferma che $\int \tau\,dt = \Delta L = I\Delta\omega$, analogo all'impulso lineare $\int F\,dt = \Delta p$.

Un corpo rigido che rotola senza strisciare su una superficie ha un punto di contatto istantaneamente fermo rispetto al suolo. Tra moto traslatorio e rotatorio esiste un preciso vincolo cinematico:

$v_{CM} = \omega R$,   $a_{CM} = \alpha R$

Da dove viene $v_{CM}=\omega R$ (in parole semplici). Guarda il disegno. La ruota fa due moti insieme: trasla (tutto il corpo avanza con $v_{CM}$) e ruota attorno al centro con velocità angolare $\omega$ (un punto sul bordo ha velocità $\omega R$ rispetto al centro). Nel punto di contatto $P$ col suolo i due moti sono opposti: la traslazione spinge $P$ in avanti ($+v_{CM}$), la rotazione lo trascina indietro ($-\omega R$). "Rotolare senza strisciare" significa proprio che $P$ non scivola, cioè è fermo: $v_{CM} - \omega R = 0 \Rightarrow v_{CM} = \omega R$. Derivando nel tempo si ha subito il legame tra le accelerazioni, $a_{CM} = \alpha R$.

Si vede nel disegno: il centro va a $v_{CM}$, il punto in cima va al doppio ($2v_{CM}$: traslazione e rotazione nello stesso verso), il punto a terra è fermo. La velocità cresce linearmente dal basso (0) all'alto ($2v_{CM}$).
Perché il vincolo è importante? Se il corpo rotola senza strisciare, il punto di contatto ha velocità nulla rispetto al suolo: la velocità traslazionale del CM è esattamente compensata dalla velocità rotazionale del punto a contatto. Questo garantisce che la forza di attrito statico (non dissipativa) mantenga il vincolo, senza strisciamento.

Attenzione — l'attrito statico è essenziale: senza attrito statico, un oggetto scivolerebbe senza ruotare (come un libro su ghiaccio). L'attrito statico nel rotolamento puro non compie lavoro (il punto di applicazione è istantaneamente fermo), ma è indispensabile per trasferire momento angolare e mantenere il vincolo $\omega = v_{CM}/R$.

Energia cinetica totale: il corpo possiede sia energia traslazionale (del CM) sia rotazionale (attorno al CM):
$K_{tot} = K_{tr} + K_{rot} = \tfrac{1}{2}mv_{CM}^2 + \tfrac{1}{2}I_{CM}\omega^2$

Sostituendo il vincolo $\omega = v_{CM}/R$:
$K_{tot} = \tfrac{1}{2}mv_{CM}^2 + \tfrac{1}{2}I_{CM}\frac{v_{CM}^2}{R^2} = \tfrac{1}{2}mv_{CM}^2\left(1 + \dfrac{I_{CM}}{mR^2}\right)$

Confronto tra forme — discesa su un piano inclinato:

• Sfera piena ($I = \frac{2}{5}mR^2$): $K_{tot} = \frac{1}{2}mv^2(1 + 2/5) = \frac{7}{10}mv^2$. Il 71.4% dell'energia è in traslazione, il 28.6% in rotazione. Accelera più velocemente.
• Cilindro pieno ($I = \frac{1}{2}mR^2$): $K_{tot} = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1/2) = \frac{3}{4}mv^2$. Il 66.7% in traslazione, il 33.3% in rotazione.
• Anello ($I = mR^2$): $K_{tot} = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1) = mv^2$. Solo il 50% in traslazione — la forma più lenta.

Perché la sfera vince sempre? A parità di energia potenziale persa ($mgh$), l'energia si ripartisce tra traslazione e rotazione. Minore è $I/(mR^2)$, minore è la frazione "rubata" dalla rotazione, maggiore è la velocità lineare in fondo. La sfera ha il rapporto $I/(mR^2) = 2/5$ più piccolo tra le forme comuni.

Risoluzione con le forze (metodo alternativo). Su un corpo che rotola giù da un piano inclinato di angolo $\theta$ agiscono tre forze (vedi disegno): il peso $mg$ (verticale), la reazione normale $N$ (perpendicolare al piano) e l'attrito statico $F_{att}$ (lungo il piano, verso l'alto: è la forza che impedisce lo scivolamento e mette in rotazione il corpo). Si scrivono due equazioni — una per la traslazione lungo il piano, una per la rotazione attorno al centro:

• traslazione: $\sum F_{\parallel} = mg\sin\theta - F_{att} = ma_{CM}$ (la componente del peso lungo il piano tira giù, l'attrito frena);
• rotazione: $\sum \tau_{CM} = F_{att}R = I_{CM}\alpha = I_{CM}a_{CM}/R$ (solo l'attrito fa momento attorno al centro $O$: $N$ e $mg$ passano per $O$, quindi braccio nullo).

Mettendo a sistema e usando il vincolo $a_{CM}=\alpha R$ si ricava: $a_{CM} = \dfrac{g\sin\theta}{1 + I_{CM}/(mR^2)}$, identico al risultato energetico.

Quando c'è strisciamento: se l'attrito statico non è sufficiente (superficie troppo liscia), il corpo scivola parzialmente, l'attrito diventa dinamico e dissipa energia. Il moto non è più puro rotolamento e la velocità finale è minore.

Esempi reali:

• Ruote dei veicoli: l'attrito statico tra pneumatico e asfalto è essenziale per il rotolamento puro. In frenata brusca, se le ruote si bloccano, lo strisciamento riduce il controllo.
• Biliardo: una palla colpita con effetto "colpo in basso" può inizialmente strisciare e poi passare al rotolamento puro quando l'attrito statico ha modificato abbastanza la rotazione.
• Treni: le ruote in acciaio su rotaie d'acciaio hanno un coefficiente d'attrito statico basso, ma sufficiente per il rotolamento puro in condizioni normali.

Il momento angolare (o quantità di moto angolare) è l'analogo rotazionale della quantità di moto. Per un corpo rigido in rotazione attorno a un asse fisso:

$\vec{L} = I\vec{\omega}$

Più in generale, per una singola particella: $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m\vec{r} \times \vec{v}$, il cui modulo è $L = mvr\sin\phi$, dove $\phi$ è l'angolo tra $\vec{r}$ e $\vec{v}$.

II Legge di Newton per la rotazione (forma generale):
$\displaystyle \vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$

Il momento torcente esterno netto applicato a un sistema uguaglia la derivata temporale del momento angolare — forma analoga a $\vec{F}_{ext} = d\vec{p}/dt$.

Legge di conservazione del momento angolare:
Se il momento torcente esterno risultante è nullo ($\sum\vec{\tau}_{ext} = 0$), il momento angolare totale si conserva:

$\vec{L} = \text{costante}$   oppure   $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$

Esempi fondamentali:

• Pattinatrice sul ghiaccio: parte con le braccia aperte ($I$ grande, $\omega$ piccola). Chiudendo le braccia, riduce $I$ e $\omega$ aumenta ($L$ costante). Riaprendo le braccia, rallenta. È il modo più spettacolare di visualizzare la conservazione di $L$.
• Tuffatore: in volo (senza torque esterno apprezzabile) $L$ è costante. Raccogliendo gambe e braccia (riducendo $I$) aumenta $\omega$ e può eseguire più capriole. Aprendosi prima dell'impatto aumenta $I$ e rallenta la rotazione.
• Giroscopio e precessione: un giroscopio con momento angolare $\vec{L}$ sottoposto a un torque $\vec{\tau}$ perpendicolare a $\vec{L}$ non cade, ma precede con velocità angolare $\bm{\Omega} = \tau / L$. La direzione di $\bm{\Omega}$ è data da $\vec{\tau} = \bm{\Omega} \times \vec{L}$.
• Stella che collassa: quando una stella massiccia collassa in una stella di neutroni, il raggio si riduce drasticamente → $I$ diminuisce → $\omega$ aumenta enormemente. Stelle di neutroni possono ruotare a centinaia di Hz (pulsar).
• Ventola di raffreddamento: se il motore si guasta e le pale si rompono, il momento angolare si conserva e il rotore accelera per compensare la perdita di massa alle estremità.

Precessione del giroscopio — perché non cade.
Ci aspetteremmo che un giroscopio inclinato (o una trottola) cada per il peso. Invece il suo asse ruota lentamente attorno alla verticale: è la precessione. Il motivo sta tutto in $\vec{\tau} = d\vec{L}/dt$.
Il peso $Mg$, applicato a distanza $d$ dal perno, genera un torque $\tau = Mgd\sin\theta$ perpendicolare a $\vec{L}$ (diretto lungo l'asse di rotazione). Un torque perpendicolare a un vettore non ne cambia il modulo, solo la direzione: quindi $\vec{L}$ non cresce né diminuisce, ma ruota, e la sua punta descrive un cerchio — la precessione. Ad ogni istante $d\vec{L} = \vec{\tau}\,dt$ spinge $\vec{L}$ di lato (mai verso il basso), perciò l'asse gira invece di cadere. La velocità di precessione è $\Omega = \tau/L = Mgd/(I\omega)$. Importante: $\Omega$ è inversamente proporzionale a $\omega$ — più veloce gira il giroscopio, più lenta (e stabile) è la precessione. Per questo una trottola lenta barcolla vistosamente, mentre una veloce resta quasi dritta.

Conservazione in tre dimensioni: $\vec{L}$ è un vettore; la sua conservazione implica che direzione, verso e modulo rimangono costanti. Questo spiega perché una trottola che gira rimane eretta: il suo momento angolare è allineato con l'asse di rotazione e la conservazione di $\vec{L}$ mantiene l'orientamento dell'asse.

Un corpo è in equilibrio statico se è in quiete e vi rimane: nessuna accelerazione lineare né angolare. Le condizioni necessarie e sufficienti sono due:

1. $\displaystyle \sum\vec{F} = 0$   (equilibrio traslazionale: risultante delle forze nulla)
2. $\displaystyle \sum\vec{\tau} = 0$   (equilibrio rotazionale: risultante dei momenti nulla)

Strategia di risoluzione (passo-passo):

1. Diagramma di corpo libero (FBD): identifica tutte le forze agenti sul corpo (peso, reazioni vincolari, tensioni, attriti).
2. Scegli un sistema di coordinate: definisci gli assi $x$ e $y$ per le componenti delle forze.
3. Scegli un polo per i momenti: il polo ideale è un punto in cui passano più forze incognite — così i loro torques sono nulli e non compaiono nell'equazione $\sum\tau = 0$. Tipicamente una cerniera, un cardine o il punto di contatto.
4. Scrivi le equazioni: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum \tau_O = 0$ (con segni coerenti).
5. Risolvi il sistema: se le incognite non superano le equazioni, il problema è isostatico.

Importante: la condizione $\sum\tau = 0$ vale rispetto a qualsiasi polo. Scegliere il polo strategicamente semplifica i calcoli, ma qualsiasi scelta porta allo stesso risultato. Si può verificare la soluzione ricalcolando i momenti rispetto a un polo diverso.

Centro di Massa e Stabilità dell'equilibrio:

• Equilibrio stabile: il CM è sotto il punto di appoggio (o perno). Una piccola perturbazione solleva il CM → l'energia potenziale aumenta → il sistema torna alla posizione iniziale. Esempio: pendolo semplice in basso, una sedia sulle quattro gambe.
• Equilibrio instabile: il CM è sopra il punto di appoggio. Una piccola perturbazione abbassa il CM → l'energia potenziale diminuisce → il sistema si allontana. Esempio: matita in equilibrio sulla punta, pendolo rovesciato.
• Equilibrio indifferente (neutro): il CM rimane alla stessa altezza per ogni spostamento. Esempio: sfera su un piano orizzontale, un cilindro su un piano inclinato all'angolo critico.

Analisi energetica della stabilità: un equilibrio è stabile se $U$ (energia potenziale) ha un minimo locale, instabile se $U$ ha un massimo locale, indifferente se $U$ è costante. Per piccoli spostamenti angolari $\theta$, $U \approx \frac{1}{2}k\theta^2$ genera un moto armonico (oscillazioni) attorno alla posizione stabile.

Problemi iperstatici: se le incognite superano le 3 equazioni disponibili (in 2D: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum\tau = 0$), il problema è staticamente indeterminato. Servono equazioni aggiuntive dalla deformabilità dei materiali (non trattata in questo capitolo). Esempio: una trave su tre appoggi.

Esempi reali:

• Scala appoggiata: il classico problema di equilibrio con attrito al suolo e parete liscia. Se l'attrito è insufficiente, la scala scivola.
• Gru: il contrappeso è posizionato in modo che il momento del carico sia bilanciato, mantenendo $\sum\tau = 0$ rispetto alle ruote.
• Carriola: la ruota funge da fulcro; le forze verso l'alto della ruota e verso il basso del carico si equilibrano con la forza esercitata dall'operatore.
• Edifici e ponti: le reazioni vincolari devono bilanciare i pesi e i carichi esterni per garantire l'equilibrio statico dell'intera struttura.