Dinamica dei Sistemi e Teoria dell'Urto

La quantità di moto (o momento lineare) di un punto materiale è definita come: $$\vec{p} = m\vec{v}$$ È una grandezza vettoriale: stessa direzione e verso della velocità, modulo proporzionale alla massa.

Conservazione della quantità di moto: in un sistema isolato (forza esterna totale nulla), la quantità di moto totale si conserva: $$\vec{p}_{tot} = \sum m_i \vec{v}_i = \mathrm{costante}$$ Questa è una delle leggi di conservazione più importanti della fisica. Permette di analizzare urti, esplosioni e interazioni tra corpi senza conoscere i dettagli delle forze interne.

Impulso: quando una forza agisce per un intervallo di tempo, trasferisce quantità di moto. L'impulso è: $$\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\,dt = \Delta\vec{p}$$ La forza media che agisce in un urto è $\vec{F}_{medio} = \Delta\vec{p}/\Delta t$. Più breve è la durata dell'urto, maggiore è la forza media a parità di variazione di quantità di moto. Ecco perché un airbag salva la vita: aumenta $\Delta t$, riducendo la forza media sull'occupante.

Esempio: una pallina da tennis di 58 g arriva a 30 m/s e viene respinta a 25 m/s. La variazione di quantità di moto è $\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.058\cdot(25 - (-30)) = 3.19\,\mathrm{kg\cdot m/s}$. Se il contatto dura 0.01 s, la forza media è $F_{med} = 3.19/0.01 = 319\,\mathrm{N}$.

Il centro di massa (CM) di un sistema di particelle è il punto che si comporta come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in esso e tutte le forze esterne agissero su di esso: $$\vec{r}_{CM} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{M} = \frac{\int \vec{r}\,dm}{M}$$ dove $M = \sum m_i$ è la massa totale del sistema. Per un sistema continuo, la somma diventa un integrale.

I equazione cardinale: la risultante delle forze esterne è uguale alla massa totale per l'accelerazione del centro di massa: $$\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{CM}$$ Conseguenza: le forze interne (tra le particelle del sistema) non possono modificare il moto del CM. Se lanci un sasso in aria, il suo CM segue una traiettoria parabolica indipendentemente da come il sasso ruota. Un'esplosione in un sistema isolato: i frammenti volano in tutte le direzioni, ma il CM continua dritto come se niente fosse.

II equazione cardinale: riguarda il moto rotatorio: la somma dei momenti torcenti esterni è uguale alla derivata del momento angolare totale: $$\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$ dove $\vec{L} = \sum \vec{r}_i \times \vec{p}_i$ è il momento angolare totale del sistema. Se $\vec{\tau}_{ext} = 0$, si conserva $\vec{L}$ (conservazione del momento angolare).

Un urto elastico in una dimensione è un urto in cui si conservano sia la quantità di moto totale sia l'energia cinetica totale. In pratica, non c'è dissipazione: l'energia cinetica non si trasforma in calore o deformazione permanente.

Date due masse $m_1$ e $m_2$ con velocità iniziali $v_1$ e $v_2$, le velocità finali dopo un urto elastico 1D sono: $$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}\,v_2 \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,v_2$$
Se $m_1 = m_2$, le espressioni si semplificano notevolmente: $v_1' = v_2$ e $v_2' = v_1$ — le masse si scambiano le velocità. Se una biglia ferma viene colpita da una biglia identica in moto, la prima si ferma e la seconda prosegue con la velocità che aveva la prima.

Casi particolari:

• $m_1 \ll m_2$ (pallina contro muro): $v_1' \approx -v_1$, $v_2' \approx 0$ — la massa leggera rimbalza con velocità opposta.
• $m_1 \gg m_2$ (camion contro moscerino): $v_1' \approx v_1$, $v_2' \approx 2v_1$ — la massa pesante prosegue indisturbata, la leggera viene "spazzata via" al doppio della velocità.

La conservazione dell'energia cinetica fornisce una verifica: $\tfrac{1}{2}m_1v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2v_2'^2$.

Urto centrale vs urto obliquo. Un urto si dice centrale (o frontale) quando le velocità dei corpi sono dirette lungo la retta che congiunge i due centri: il moto resta su una sola retta ed è il caso 1D trattato sopra. Si dice obliquo quando le velocità formano un angolo con tale retta (urto "di striscio" o non centrato): i corpi si disperdono in un piano ed è il caso 2D. L'urto è centrale solo se i centri si avvicinano esattamente lungo la congiungente; in tutti gli altri casi è obliquo.

Urto elastico 2D (obliquo) — caso generale. In due dimensioni l'urto non è più frontale: i corpi si allontanano lungo direzioni diverse. Nel caso più generale entrambe le masse hanno velocità iniziali $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ qualsiasi. La conservazione della quantità di moto è vettoriale e vale componente per componente; aggiungendo l'energia cinetica si ha: $$m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = m_1v_{1x}' + m_2v_{2x}' \quad\text{(p lungo x)}$$ $$m_1v_{1y} + m_2v_{2y} = m_1v_{1y}' + m_2v_{2y}' \quad\text{(p lungo y)}$$ $$\tfrac{1}{2}m_1v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2v_2'^2 \quad\text{(KE)}$$
Attenzione — il sistema è indeterminato. Le incognite finali sono quattro (due componenti per ciascuna velocità, ovvero due moduli e due angoli), ma le equazioni di conservazione sono solo tre. Manca un'informazione: la geometria dell'urto (il parametro d'impatto, cioè quanto l'urto è centrato). Senza di essa il problema 2D non ha soluzione unica — a differenza dell'1D, dove 2 equazioni e 2 incognite bastano.

Come si risolve: linea dei centri. Per sfere lisce (senza attrito) si decompone ogni velocità lungo due direzioni al momento del contatto: la normale $\hat{n}$ (la retta che unisce i due centri) e la tangente $\hat{t}$ perpendicolare. Allora:

• le componenti tangenziali non cambiano (nessuna forza in quella direzione): $v_{1t}' = v_{1t}$, $v_{2t}' = v_{2t}$;
• le componenti normali si scambiano secondo le formule dell'urto elastico 1D viste sopra (la forza d'urto agisce solo lungo $\hat{n}$).

È questa la 4ª informazione che chiude il problema: l'angolo della linea dei centri fissa quanto l'urto è "di striscio" o "centrato".

Che cos'è il parametro d'impatto $b$. È lo scostamento laterale tra la traiettoria del centro della pallina incidente e il centro del bersaglio. Dice quanto il colpo è "fuori centro":

• $b = 0$: la incidente punta dritta al centro del bersaglio → urto centrale (frontale, caso 1D);
• $0 < b < 2r$: urto obliquo (di striscio);
• $b \geq 2r$: le palline non si toccano nemmeno (nessun urto).

A cosa serve nei problemi. Il parametro d'impatto è proprio la "quarta informazione" che mancava: fissa l'inclinazione della linea dei centri tramite $\sin\varphi = b/(2r)$. Lo si legge dal triangolo rettangolo nel disegno: l'ipotenusa è la distanza tra i centri al contatto ($2r$), il cateto verticale è $b$. Procedura per risolvere un urto obliquo:

1. dal dato $b$ (e dai raggi) ricava $\varphi = \arcsin\!\big(b/(2r)\big)$ — è la direzione della linea dei centri $\hat{n}$;
2. scomponi le velocità lungo $\hat{n}$ (normale) e $\hat{t}$ (tangente, perpendicolare);
3. applica l'urto 1D alle sole componenti normali; lascia invariate le tangenziali;
4. ricomponi i vettori per ottenere moduli e direzioni finali.

Caso particolare — un bersaglio fermo. Se $m_2$ è inizialmente ferma e si sceglie l'asse $x$ lungo $\vec{v}_1$, le tre equazioni si semplificano (con $\theta_1, \theta_2$ angoli di deviazione su lati opposti dell'asse $x$): $$m_1v_1 = m_1v_1'\cos\theta_1 + m_2v_2'\cos\theta_2$$ $$0 = m_1v_1'\sin\theta_1 - m_2v_2'\sin\theta_2$$ $$\tfrac{1}{2}m_1v_1^2 = \tfrac{1}{2}m_1v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2v_2'^2$$ (la scelta dell'asse $x$ lungo $\vec{v}_1$ è solo comoda: annulla la quantità di moto iniziale lungo $y$. Resta comunque indeterminato finché non si fissa $\theta_1$ dalla geometria.)

Proprietà notevole — masse uguali, bersaglio fermo. Se $m_1 = m_2$ e $m_2$ è inizialmente ferma, le velocità finali sono sempre perpendicolari tra loro: $\theta_1 + \theta_2 = 90°$, qualunque sia il parametro d'impatto. La dimostrazione è immediata in forma vettoriale: con $m_1=m_2=m$ la conservazione di $\vec{p}$ dà $\vec{v}_1 = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$, mentre la conservazione di $KE$ dà $v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2$. Elevando al quadrato la prima ($v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2 + 2\,\vec{v}_1'\cdot\vec{v}_2'$) e confrontando con la seconda si ottiene $\vec{v}_1'\cdot\vec{v}_2' = 0$, cioè i due vettori sono ortogonali (purché entrambe le masse restino in moto). Esempio: se $m_1$ devia di $\theta_1 = 30°$, allora $\theta_2 = 90° - 30° = 60°$. È il motivo per cui nel biliardo, dopo un colpo non centrale tra bilie uguali, le due palle partono quasi a $90°$. Nota: con $m_2$ in moto, o masse diverse, questa ortogonalità non vale più.

In un urto anelastico si conserva la quantità di moto totale ma non l'energia cinetica. Parte dell'energia cinetica iniziale viene convertita in calore, deformazione permanente, suono, ecc.

Urto perfettamente anelastico: i due corpi restano attaccati dopo l'urto, muovendosi insieme con la stessa velocità finale $v'$: $$(m_1 + m_2)v' = m_1v_1 + m_2v_2$$ L'energia cinetica persa è: $$\Delta KE = -\frac{m_1 m_2}{2(m_1+m_2)}(v_1 - v_2)^2$$ Il termine $(v_1 - v_2)$ è la velocità relativa prima dell'urto: maggiore è la velocità relativa, maggiore è l'energia dissipata. Se $v_1 = v_2$ (stessa velocità), non c'è urto e $\Delta KE = 0$.

Coefficiente di restituzione $e$: misura l'elasticità dell'urto, definito come rapporto tra velocità relativa dopo e prima dell'urto (in modulo): $$e = \frac{|v_2' - v_1'|}{|v_1 - v_2|}$$

• $e = 1$: urto perfettamente elastico (nessuna perdita di KE).
• $e = 0$: urto perfettamente anelastico (corpi uniti, massima perdita di KE).
• $0 < e < 1$: urto parzialmente anelastico (caso reale). Esempio: una pallina da tennis che rimbalza sul pavimento ha $e \approx 0.7-0.8$.

Il momento di inerzia $I$ è l'analogo rotazionale della massa: misura la resistenza di un corpo alla variazione della sua velocità angolare. Mentre la massa inerziale $m$ resiste ai cambiamenti di moto lineare, $I$ resiste ai cambiamenti di moto rotatorio.

Per un sistema di particelle: $I = \sum m_i r_i^2$. Per un corpo continuo: $I = \int r^2\,dm$, dove $r$ è la distanza dall'asse di rotazione.

Teorema di Huygens-Steiner: permette di calcolare $I$ rispetto a un asse parallelo a quello passante per il CM, a distanza $d$: $$I = I_{CM} + Md^2$$ È utile perché i momenti d'inerzia noti sono spesso tabulati rispetto al CM.

Legge fondamentale della dinamica rotazionale: il momento torcente netto è uguale al momento di inerzia per l'accelerazione angolare: $$\tau = I\alpha$$ analoga a $F = ma$. L'energia cinetica rotazionale è: $$KE_{rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$$ analoga a $KE = \tfrac{1}{2}mv^2$.

Momenti d'inerzia notevoli:

• Cilindro/disco pieno (asse centrale): $I = \tfrac{1}{2}MR^2$
• Sfera piena (asse diametrale): $I = \tfrac{2}{5}MR^2$
• Sfera cava (guscio sottile): $I = \tfrac{2}{3}MR^2$
• Asta sottile (asse perpendicolare, centro): $I = \tfrac{1}{12}ML^2$
• Anello (asse centrale): $I = MR^2$