Numeri Complessi

Forma algebrica: un numero complesso si scrive $z=a+bi$, dove $a,b\in\mathbb{R}$ sono rispettivamente la parte reale $\Re(z)=a$ e la parte immaginaria $\Im(z)=b$, mentre $i$ è l'unità immaginaria con $i^2=-1$.

Uguaglianza: $a+bi = c+di \iff a=c \land b=d$.

Somma: $(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i$.

Prodotto: $(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i$. Si esegue come un normale prodotto binomiale, ricordando $i^2=-1$.

Coniugato: $\overline{z} = a-bi$. Proprietà: $z\overline{z}=a^2+b^2$, $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$, $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2}$.

Modulo: $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$, distanza dall'origine nel piano complesso. $|z|$ è sempre $\geq0$, e $|z|=0$ solo per $z=0$. Valgono $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$, $|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$ (disuguaglianza triangolare).

Quoziente: $\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$. Si moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore.

Il piano di Argand-Gauss (o piano complesso) rappresenta graficamente i numeri complessi: l'asse $x$ (reale) porta la parte reale, l'asse $y$ (immaginario) la parte immaginaria. Ogni numero complesso $z=a+bi$ corrisponde al punto $(a,b)$ nel piano.

Forma trigonometrica: ogni numero complesso non nullo può essere scritto come $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, dove:

• $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$ è il modulo (distanza dall'origine);
• $\theta = \arg(z)$ è l'argomento (angolo formato con il semiasse reale positivo), con $\tan\theta = b/a$.

Formula di Eulero: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. Questa formula fondamentale collega esponenziale e trigonometria, e permette la forma esponenziale $z = r e^{i\theta}$.

Argomento principale: $\Arg(z) \in (-\pi,\pi]$ (o in $[0,2\pi)$, a seconda della convenzione). L'argomento è definito a meno di multipli di $2\pi$, poiché $e^{i(\theta+2\pi k)}=e^{i\theta}$.

La forma esponenziale semplifica notevolmente le operazioni tra numeri complessi.

Prodotto: $z_1 z_2 = (r_1 e^{i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$. I moduli si moltiplicano, gli argomenti si sommano.

Rapporto: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ (per $z_2\neq0$). I moduli si dividono, gli argomenti si sottraggono.

Potenza (formula di De Moivre): $(r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$, valida per $n\in\mathbb{N}$ e anche per $n\in\mathbb{Z}$ con $r\neq0$. Si estende naturalmente a potenze frazionarie tramite le radici.

Interpretazione geometrica: moltiplicare per $e^{i\alpha}$ equivale a una rotazione di $\alpha$ radianti nel piano complesso. Moltiplicare per $r$ equivale a una dilatazione.

Le radici n-esime di un numero complesso $z = r e^{i\theta}$ sono i numeri $w$ tali che $w^n = z$. La formula generale è:

$$w_k = \sqrt[n]{r}\, e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}}, \qquad k=0,1,\dots,n-1.$$

Esistono esattamente $n$ radici n-esime distinte, disposte sui vertici di un poligono regolare di $n$ lati centrato nell'origine.

Radici n-esime dell'unità (caso $z=1$): $\omega_k = e^{i2\pi k/n}$, per $k=0,1,\dots,n-1$. Proprietà:

• $\omega_0=1$ (radice banale);
• $\omega_k^n = 1$ per ogni $k$;
• $\omega_k = \omega_1^k$ (tutte le radici sono potenze della radice primitiva $\omega_1$);
• $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$ per $n>1$ (le radici formano un poligono regolare centrato nell'origine).

Le radici n-esime giacciono sul cerchio unitario $|z|=1$, equidistanti angularmente di $2\pi/n$.

L'esponenziale complesso $e^z$ per $z = x+iy$ è definito come:

$$e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y).$$

Questa definizione estende l'esponenziale reale al piano complesso, conservando la proprietà $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$.

Proprietà:

• $|e^z| = e^x$ (il modulo dipende solo dalla parte reale);
• $\arg(e^z) = y$ (l'argomento è la parte immaginaria);
• $e^z$ è periodica con periodo $2\pi i$: $e^{z+2\pi i}=e^z$;
• $e^z \neq 0$ per ogni $z\in\mathbb{C}$.

Applicazioni:

• Fisica e ingegneria: i numeri complessi sono essenziali per descrivere correnti alternate (fasori), circuiti RLC, onde elettromagnetiche, e in generale fenomeni oscillatori. Un segnale sinusoidale $A\cos(\omega t+\phi)$ può essere rappresentato come $\Re(A e^{i(\omega t+\phi)})$, semplificando i calcoli di circuiti in regime stazionario.
• Rappresentazione matriciale: i numeri complessi $a+bi$ possono essere rappresentati come matrici $\begin{pmatrix}a & -b \\ b & a\end{pmatrix}$, dove somma e prodotto corrispondono alle operazioni matriciali.

Risolvere equazioni in $\mathbb{C}$ significa trovare tutti $z\in\mathbb{C}$ che soddisfano una data equazione. Il teorema fondamentale dell'algebra (Gauss, 1799) afferma che ogni polinomio di grado $n\geq1$ a coefficienti complessi ha esattamente $n$ radici in $\mathbb{C}$ (contate con molteplicità).

Equazioni polinomiali: per risolvere $P(z)=0$ di grado $n$:

• Se il polinomio è reale (coefficienti reali), le radici complesse compaiono sempre a coppie coniugate.
• Per equazioni di II grado $az^2+bz+c=0$, la formula risolutiva $z = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ vale anche in $\mathbb{C}$, con $\sqrt{\Delta}$ che denota una radice quadrata complessa.
• Per gradi superiori: fattorizzazione, ricerca di radici elementari, sostituzioni (es. $w=z^n$ per equazioni trinomie).

Fattorizzazione: ogni polinomio $P(z)$ può essere scomposto in fattori lineari: $P(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)$, dove $z_k$ sono le radici (non necessariamente distinte).