Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE)

Un'ODE del primo ordine si dice a variabili separabili se può essere scritta nella forma $y' = f(x)g(y)$. Il metodo risolutivo consiste nel separare le variabili e integrare:

$$\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x),dx \qquad (\text{assumendo }g(y)\neq0).$$

Si ottiene una relazione implicita tra $y$ e $x$, che talvolta può essere risolta esplicitamente per $y$.

Crescita/decadimento esponenziale: $y' = ky$ ($k$ costante). Separando: $dy/y = k,dx$, integrando: $\ln|y| = kx + c$, esponenziale: $y = y_0 e^{kx}$. $k>0$: crescita (popolazione, interesse composto); $k<0$: decadimento (radioattività, raffreddamento).

Legge di raffreddamento di Newton: la velocità di variazione della temperatura è proporzionale alla differenza dalla temperatura ambiente: $T' = -k(T-T_{\text{amb}})$. Ponendo $u=T-T_{\text{amb}}$ si ha $u'=-ku$, quindi $u=u_0e^{-kt}$, cioè $T = T_{\text{amb}} + (T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}$.

Problema di Cauchy (valore iniziale): un'ODE con una condizione iniziale $y(x_0)=y_0$. La condizione iniziale seleziona un'unica soluzione dalla famiglia generale, determinando la costante $C$.

L'equazione omogenea $ay''+by'+cy=0$ con coefficienti costanti $a,b,c\in\mathbb{R}$ si risolve cercando soluzioni della forma $y=e^{\lambda x}$. Sostituendo, otteniamo l'equazione caratteristica $a\lambda^2+b\lambda+c=0$.

Il discriminante $\Delta = b^2-4ac$ determina tre casi:

• $\Delta>0$ (due radici reali distinte $\lambda_1,\lambda_2$): soluzione $y=C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$. Due esponenziali linearmente indipendenti.
• $\Delta=0$ (radice doppia $\lambda=-b/(2a)$): soluzione $y=(C_1+C_2 x)e^{\lambda x}$. Il fattore $x$ fornisce la seconda soluzione indipendente.
• $\Delta<0$ (radici complesse coniugate $\lambda=\alpha\pm i\beta$): soluzione $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$. La soluzione oscilla con ampiezza modulata esponenzialmente — la base per modellare oscillatori armonici.

Per l'equazione non omogenea $ay''+by'+cy=f(x)$, la soluzione generale è $y=y_h+y_p$ dove $y_h$ è la soluzione dell'omogenea e $y_p$ è una soluzione particolare (trovata con il metodo di somiglianza/coefficienti indeterminati o con la variazione delle costanti).