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Equazione differenziale — variabili separabili

Risolvi l'equazione differenziale y' = 2x·y con condizione iniziale y(0) = 3.

Dati forniti

y' = 2x·yy(0) = 3

Passi

0 / 4

L'equazione è a variabili separabili: raccolgo tutto ciò che contiene y da un lato e ciò che contiene x dall'altro, così posso integrare i due membri separatamente.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Integro entrambi i membri: a sinistra ∫dy/y = ln|y|, a destra ∫2x dx = x² (più la costante).
Per liberare y dal logaritmo applico l'esponenziale a entrambi i membri, ottenendo y = K·e^{x²} (la costante e^C diventa K).
La costante K si determina con la condizione iniziale: impongo y(0) = 3 nella soluzione generale.

Svolgimento completo

L'equazione è a variabili separabili: raccolgo tutto ciò che contiene y da un lato e ciò che contiene x dall'altro, così posso integrare i due membri separatamente.
$\dfrac{dy}{y} = 2x\,dx$
$y' = 2xy \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{dx} = 2xy \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{y} = 2x\,dx$ . Separiamo le variabili portando $y$ a sinistra e $x$ a destra.
Integro entrambi i membri: a sinistra ∫dy/y = ln|y|, a destra ∫2x dx = x² (più la costante).
$\ln|y| = x^2 + C$
$\displaystyle\int\dfrac{dy}{y} = \displaystyle\int 2x\,dx \;\Rightarrow\; \ln|y| = x^2 + C$ .
Per liberare y dal logaritmo applico l'esponenziale a entrambi i membri, ottenendo y = K·e^{x²} (la costante e^C diventa K).
$|y| = e^{x^2 + C} = e^C \cdot e^{x^2}$
$|y| = e^{x^2+C} = e^C\cdot e^{x^2} \;\Rightarrow\; y = K\,e^{x^2}$ con $K = \pm e^C$ .
La costante K si determina con la condizione iniziale: impongo y(0) = 3 nella soluzione generale.
$y(0) = K \cdot e^0 = K = 3$
$y(0) = K\cdot e^{0} = K = 3$ dalla condizione iniziale $y(0)=3$ . Soluzione: $y(x) = \mathbf{3}\,e^{x^2}$ .

Risultato:y(x) = 3·e^{x²}.

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