ODEAlta

ODE del secondo ordine — oscillatore armonico

Risolvi l'equazione differenziale y″ + 4y = 0 con condizioni iniziali y(0) = 2, y′(0) = 0.

Dati forniti

y″ + 4y = 0y(0) = 2y'(0) = 0

Passi

0 / 4

Per un'ODE lineare a coefficienti costanti si cercano soluzioni del tipo e^{λx}: sostituendole si ottiene l'equazione caratteristica λ² + 4 = 0.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Risolvo per λ: λ² = −4 dà radici complesse coniugate ±2i. Radici immaginarie pure → soluzioni oscillanti seno/coseno (è infatti un oscillatore armonico).
Impongo la prima condizione iniziale y(0) = 2 nella soluzione generale: poiché cos(0)=1 e sin(0)=0, resta direttamente C₁.
Derivo la soluzione generale e impongo la seconda condizione y'(0) = 0 per fissare C₂.

Svolgimento completo

Per un'ODE lineare a coefficienti costanti si cercano soluzioni del tipo e^{λx}: sostituendole si ottiene l'equazione caratteristica λ² + 4 = 0.
$\lambda^2 + 4 = 0$
Equazione caratteristica: $\lambda^2 + 4 = 0$ . Sostituiamo $y'' \to \lambda^2$ , $y \to 1$ .
Risolvo per λ: λ² = −4 dà radici complesse coniugate ±2i. Radici immaginarie pure → soluzioni oscillanti seno/coseno (è infatti un oscillatore armonico).
$\lambda = \pm 2i$
$\lambda^2 = -4 \;\Rightarrow\; \lambda = \pm 2i$ . Radici complesse coniugate → soluzione generale: $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$ .
Impongo la prima condizione iniziale y(0) = 2 nella soluzione generale: poiché cos(0)=1 e sin(0)=0, resta direttamente C₁.
$y(0) = C_1 \cdot \cos(0) + C_2 \cdot \sin(0) = C_1 = 2$
$y(0) = C_1\cos(0) + C_2\sin(0) = C_1 = \mathbf{2}$ . Dalla condizione $y(0)=2$ si ottiene $C_1 = 2$ .
Derivo la soluzione generale e impongo la seconda condizione y'(0) = 0 per fissare C₂.
$y'(0) = -2C_1\sin(0) + 2C_2\cos(0) = 2C_2 = 0$
$y'(x) = -2C_1\sin(2x) + 2C_2\cos(2x) \;\Rightarrow\; y'(0) = 2C_2 = 0 \;\Rightarrow\; C_2 = \mathbf{0}$ . Soluzione: $y(x) = 2\cos(2x)$ .

Risultato:y(x) = 2·cos(2x).

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