Campo Magnetico e Correnti Elettriche

La corrente elettrica è il moto ordinato di cariche elettriche in un conduttore. Si misura in ampere: $1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C/s}$. L'intensità di corrente è definita come la carica che attraversa una sezione trasversale del conduttore nell'unità di tempo: $$I = \frac{dq}{dt}$$

Densità di corrente: per descrivere localmente il flusso di carica si introduce il vettore $\vec{J}$: $$\vec{J} = nq\vec{v}_d$$ dove $n$ è la densità numerica dei portatori di carica, $q$ la loro carica e $\vec{v}_d$ la velocità di deriva. La velocità di deriva è tipicamente molto piccola ($\sim \mathrm{mm/s}$), ma il segnale elettrico si propaga alla velocità della luce nel mezzo ($\sim 2\times10^8\,\mathrm{m/s}$ nei cavi).

Legge di Ohm microscopica: in molti materiali conduttori, la densità di corrente è proporzionale al campo elettrico applicato: $$\vec{J} = \sigma\vec{E}$$ dove $\sigma$ è la conduttività elettrica del materiale (unità: $\Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1}$). La resistività $\rho = 1/\sigma$ misura l'opposizione del materiale al passaggio di corrente.

Resistenza e legge di Ohm macroscopica: per un conduttore di lunghezza $L$ e sezione $A$: $$R = \rho\frac{L}{A}, \qquad V = RI$$ La resistenza $R$ si misura in ohm ($\Omega$). La tensione $V$ ai capi del conduttore è proporzionale alla corrente $I$.

Effetto Joule: il passaggio di corrente in un resistore dissipa energia sotto forma di calore: $$P = I^2R = \frac{V^2}{R} = IV$$ La potenza dissipata è proporzionale al quadrato della corrente: ecco perché i cavi di grosso diametro (bassa $R$) si scaldano meno.

Applicazioni:

• Circuiti elettrici — illuminazione, motori, elettrodomestici.
• Riscaldamento a resistenza — stufe elettriche, forni, bollitori.
• Fusibili — proteggono i circuiti interrompendo la corrente quando supera una soglia (fondono per effetto Joule).
• Termistori — sensori di temperatura basati sulla variazione di resistività con $T$.

La forza magnetica agisce su cariche elettriche in movimento. È descritta dalla forza di Lorentz: $$\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$$ dove $\vec{v}$ è la velocità della carica $q$ e $\vec{B}$ è il campo magnetico. La forza è sempre perpendicolare sia a $\vec{v}$ che a $\vec{B}$ (regola della mano destra).

Una caratteristica fondamentale: la forza magnetica non compie lavoro ($\vec{F}\cdot\vec{v}=0$). Modifica solo la direzione della velocità, non il suo modulo, quindi l'energia cinetica rimane costante.

Forza di Lorentz completa: in presenza sia di campo elettrico che magnetico: $$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})$$

Moto in campo magnetico uniforme: se $\vec{v} \perp \vec{B}$, la traiettoria è circolare. Il raggio (raggio di Larmor) e la frequenza angolare (ciclofrequenza) sono: $$r = \frac{mv}{qB}, \qquad \omega_c = \frac{qB}{m}$$ Se $\vec{v}$ ha una componente parallela a $\vec{B}$, la traiettoria è elicoidale con passo costante.

Forza su un conduttore percorso da corrente: un elemento di corrente $I\,d\vec{l}$ in un campo $\vec{B}$ subisce la forza: $$d\vec{F} = I\,d\vec{l}\times\vec{B}$$ Integrando su tutto il conduttore si ottiene la forza totale (es. su una spira in un campo magnetico si genera una coppia — principio del motore elettrico).

Effetto Hall: quando un conduttore percorso da corrente è posto in un campo magnetico perpendicolare, si genera una tensione trasversale: $$V_H = \frac{IB}{nqt}$$ Questo effetto permette di misurare $B$ (sonda Hall) o di determinare il segno dei portatori di carica nei semiconduttori.

Applicazioni:

• Motori elettrici — coppia su spire in campo magnetico.
• Spettrometri di massa — separano ioni per rapporto $m/q$ misurando il raggio di curvatura.
• Acceleratori di particelle (ciclotroni, sincrotroni).
• Sensori Hall — rilevamento di posizione, velocità, correnti.
• Confinamento magnetico (tokamak) — confinano il plasma con campi magnetici.

La legge di Biot-Savart descrive il campo magnetico generato da un circuito percorso da corrente. Un elemento infinitesimo $d\vec{l}$ del circuito produce un campo magnetico infinitesimo nel punto $P$: $$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}$$ dove $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ è la permeabilità magnetica del vuoto, $\hat{r}$ il versore dall'elemento $d\vec{l}$ a $P$, e $r$ la distanza. Il campo totale si ottiene integrando su tutto il circuito.

Campi notevoli:

• Filo rettilineo infinito con corrente $I$: $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$ Le linee di campo sono circonferenze concentriche attorno al filo. La direzione è data dalla regola della mano destra (pollice nella direzione di $I$, dita chiudono nella direzione di $\vec{B}$).
• Spira circolare di raggio $R$ sul proprio asse (al centro): $$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$$ Il campo è perpendicolare al piano della spira. Lungo l'asse a distanza $z$ dal centro: $B = \dfrac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$.
• Solenoide ideale con $n$ spire per metro: $$B = \mu_0 n I$$ Il campo interno è uniforme e parallelo all'asse; all'esterno il campo è trascurabile. I solenoidi sono l'equivalente magnetico dei condensatori piani.

Applicazioni:

• Elettromagneti — solenoidi con nucleo ferromagnetico per amplificare $B$.
• Bobine di Helmholtz — due spire generano un campo uniforme in una regione centrale (utile per esperimenti di laboratorio).
• Risonanza magnetica (MRI) — utilizza potenti solenoidi superconduttori per generare campi di diversi tesla.
• Trasformatori e induttori nei circuiti elettrici.

La legge di Ampère è l'analogo magnetico della legge di Gauss per l'elettricità. Stabilisce che la circuitazione del campo magnetico lungo un percorso chiuso è proporzionale alla corrente concatenata (che attraversa la superficie racchiusa dal percorso): $$\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc}$$ dove $I_{enc}$ è la corrente netta che attraversa la superficie delimitata dalla curva $C$.

Utilità: come la legge di Gauss, Ampère è particolarmente potente in presenza di simmetrie (cilindrica, piana, toroidale). Permette di calcolare $B$ senza integrare Biot-Savart.

Forma differenziale: applicando il teorema di Stokes: $$\nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J}$$ Il rotore di $\vec{B}$ in un punto è proporzionale alla densità di corrente locale.

Gauss per il campo magnetico: $$\nabla\cdot\vec{B} = 0$$ Questa equazione afferma che non esistono monopoli magnetici: le linee di $\vec{B}$ sono sempre chiuse (non c'è un analogo magnetico della carica elettrica). In forma integrale: $\oint_S \vec{B}\cdot d\vec{A} = 0$, il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa è nullo.

Potenziale vettore magnetico: poiché $\nabla\cdot\vec{B}=0$, $\vec{B}$ può essere espresso come il rotore di un potenziale vettore $\vec{A}$: $$\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$$ Questo potenziale è utile in elettrodinamica e in meccanica quantistica (effetto Aharonov-Bohm).

Applicazioni:

• Calcolo di $B$ in solenoidi e toroidi — Ampère fornisce risultati immediati.
• Confinamento del plasma — nei tokamak si usano correnti toroidali per generare campi di confinamento.
• Progettazione di magneti — elettromagneti, magneti per MRI.

I materiali magnetici rispondono a un campo magnetico esterno sviluppando una magnetizzazione $\vec{M}$, definita come il momento di dipolo magnetico per unità di volume. Per descrivere il campo nei materiali si introduce il campo magnetico $\vec{H}$: $$\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}$$ La circuitazione di $\vec{H}$ dipende solo dalle correnti libere (non da quelle di magnetizzazione): $$\nabla\times\vec{H} = \vec{J}_{lib}$$
Materiali lineari: per molti materiali, $\vec{M}$ è proporzionale a $\vec{H}$: $$\vec{B} = \mu_0\mu_r\vec{H}$$ dove $\mu_r$ è la permeabilità magnetica relativa.

Classificazione dei materiali magnetici:

• Diamagnetici ($\mu_r < 1$, tipicamente $\mu_r \approx 0.9999$): non hanno momenti magnetici atomici permanenti. Il campo magnetico induci un momento opposto (legge di Lenz a livello atomico). Esempi: bismuto, rame, acqua, carbonio. Vengono debolmente respinti dai magneti.
• Paramagnetici ($\mu_r > 1$, tipicamente $\mu_r \approx 1.00001$): hanno momenti magnetici atomici permanenti che si allineano parzialmente con il campo esterno. L'allineamento è contrastato dall'agitazione termica (legge di Curie: $M = C B/T$). Esempi: alluminio, platino, ossigeno liquido.
• Ferromagnetici ($\mu_r \gg 1$, fino a $10^5$): presentano ordinamento spontaneo dei momenti magnetici all'interno di domini microscopici. In presenza di un campo esterno, i domini si allineano producendo una forte magnetizzazione. Mostrano isteresi (la magnetizzazione non segue reversibilmente il campo applicato) e una temperatura di Curie ($T_C$) oltre la quale diventano paramagnetici. Esempi: ferro ($T_C \approx 770^\circ\mathrm{C}$), nichel, cobalto, gadolinio.

Superconduttori: espellono completamente il campo magnetico dall'interno (effetto Meissner), comportandosi come diamagnetici perfetti ($\mu_r = 0$). Questo permette la levitazione magnetica.

Applicazioni:

• Hard disk — registrazione magnetica su strati ferromagnetici.
• Trasformatori e motori — nuclei in ferrite o acciaio al silicio per concentrare il flusso magnetico.
• Risonanza magnetica (MRI) — campi intensi generati da magneti superconduttori.
• Treni a levitazione magnetica (Maglev) — sfruttano la repulsione tra magneti superconduttori e rotaie.
• Memorie magnetiche — nastri, floppy disk, schede magnetiche.