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Calcolo derivata — regola del prodotto

Calcola la derivata di f(x) = x² · eˣ usando la regola del prodotto.

Dati forniti

f(x) = x² · eˣ

Passi

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f è il prodotto di due funzioni, quindi serve la regola del prodotto (u·v)' = u'v + uv'. Il primo passo è identificare i due fattori: u = x² e v = eˣ.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
La regola richiede le derivate dei singoli fattori, quindi derivo u e v separatamente: la potenza con (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ e l'esponenziale con (eˣ)' = eˣ.
Metto insieme i pezzi nella regola del prodotto, f' = u'·v + u·v', e poi raccolgo il fattore comune eˣ per semplificare il risultato.
Raccolgo il fattore comune eˣ (e poi x) per scrivere la derivata in forma fattorizzata compatta.

Svolgimento completo

f è il prodotto di due funzioni, quindi serve la regola del prodotto (u·v)' = u'v + uv'. Il primo passo è identificare i due fattori: u = x² e v = eˣ.
$u = x^2,\quad v = e^x$
$f(x) = x^2\cdot e^x$ . Identifichiamo $u = x^2$ , $v = e^x$ per applicare la regola del prodotto $(u\cdot v)' = u'v + uv'$ .
La regola richiede le derivate dei singoli fattori, quindi derivo u e v separatamente: la potenza con (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ e l'esponenziale con (eˣ)' = eˣ.
$u' = 2x,\quad v' = e^x$
$u' = 2x$ , $v' = e^x$ . Deriviamo ciascun fattore: $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(e^x)' = e^x$ .
Metto insieme i pezzi nella regola del prodotto, f' = u'·v + u·v', e poi raccolgo il fattore comune eˣ per semplificare il risultato.
$f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$
$f'(x) = u'v + uv' = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x$ .
Raccolgo il fattore comune eˣ (e poi x) per scrivere la derivata in forma fattorizzata compatta.
$f'(x) = e^x (x^2 + 2x) = x e^x (x + 2)$
$f'(x) = e^x(x^2 + 2x) = x\,e^x(x + 2)$ . Raccogliamo $e^x$ , poi $x$ per la forma fattorizzata finale.

Risultato:f'(x) = eˣ(x² + 2x) = x·eˣ(x + 2).

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