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Regola della catena — funzione composta

Calcola la derivata di f(x) = sin(ln(x² + 1)) usando la regola della catena.
Dati forniti
f(x) = sin(ln(x² + 1))
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  1. La funzione è una composizione di più funzioni, quindi serve la regola della catena: si deriva dall'esterno verso l'interno moltiplicando i contributi. Prima riconosco gli strati: f = sin(u), u = ln(v), v = x² + 1.
  2. Comincio dallo strato più esterno tenendo l'argomento interno 'congelato': la derivata di sin(u) rispetto a u è cos(u).
  3. Passo allo strato intermedio: la derivata di ln(v) rispetto a v è 1/v.
  4. Infine lo strato più interno: derivo il polinomio x² + 1 rispetto a x.
  5. La regola della catena dice di moltiplicare tra loro le derivate di tutti gli strati: combino i tre fattori per ottenere f'(x).
Svolgimento completo
  1. La funzione è una composizione di più funzioni, quindi serve la regola della catena: si deriva dall'esterno verso l'interno moltiplicando i contributi. Prima riconosco gli strati: f = sin(u), u = ln(v), v = x² + 1.
    f=sin⁡(u),u=ln⁡(v),v=x2+1f = \sin(u),\quad u = \ln(v),\quad v = x^2 + 1
    f=sin⁡(u),  u=ln⁡(v),  v=x2+1f = \sin(u),\; u = \ln(v),\; v = x^2 + 1. Tre livelli di composizione: seno (esterno), logaritmo (intermedio), polinomio (interno).
  2. Comincio dallo strato più esterno tenendo l'argomento interno 'congelato': la derivata di sin(u) rispetto a u è cos(u).
    ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\dfrac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)
    ddusin⁡(u)=cos⁡(u)=cos⁡(ln⁡(x2+1))\dfrac{d}{du}\sin(u) = \cos(u) = \cos\big(\ln(x^2+1)\big).
  3. Passo allo strato intermedio: la derivata di ln(v) rispetto a v è 1/v.
    ddvln⁡(v)=1v\dfrac{d}{dv}\ln(v) = \dfrac{1}{v}
    ddvln⁡(v)=1v=1x2+1\dfrac{d}{dv}\ln(v) = \dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{x^2+1}.
  4. Infine lo strato più interno: derivo il polinomio x² + 1 rispetto a x.
    ddx(x2+1)=2x\dfrac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
    ddx(x2+1)=2x\dfrac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x.
  5. La regola della catena dice di moltiplicare tra loro le derivate di tutti gli strati: combino i tre fattori per ottenere f'(x).
    f′(x)=2xcos⁡(ln⁡(x2+1))x2+1f'(x) = \dfrac{2x \cos(\ln(x^2+1))}{x^2+1}
    f′(x)=cos⁡(ln⁡(x2+1))⋅1x2+1⋅2x=2x cos⁡(ln⁡(x2+1))x2+1f'(x) = \cos\big(\ln(x^2+1)\big) \cdot \dfrac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \dfrac{2x\,\cos\big(\ln(x^2+1)\big)}{x^2+1}. Per la regola della catena si moltiplicano le derivate di ogni strato.
Risultato:f'(x) = 2x·cos(ln(x²+1)) / (x²+1).
TeoriaDerivateFormularioAnalisi 1

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