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Criterio della radice — convergenza serie

Determina se la serie Σ_{n=1}^{∞} (n/(2n+1))^n converge usando il criterio della radice.
Dati forniti
Σ (n/(2n+1))^n
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Passi
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  1. Il termine generale è tutto elevato alla n: è la forma ideale per il criterio della radice, perché la radice n-esima annulla l'esponente. Calcolo ⁿ√(a_n).
  2. Calcolo il limite della radice per n→∞ (divido numeratore e denominatore per n): è il valore ρ che deciderà la convergenza.
  3. Confronto ρ con 1: se ρ < 1 la serie converge assolutamente, se ρ > 1 diverge (ρ = 1 non decide). Qui ρ = 1/2.
Svolgimento completo
  1. Il termine generale è tutto elevato alla n: è la forma ideale per il criterio della radice, perché la radice n-esima annulla l'esponente. Calcolo ⁿ√(a_n).
    lim⁡n→∞ann=lim⁡n→∞n2n+1\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{2n+1}
    ann=(n2n+1)nn=n2n+1\displaystyle\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^n} = \dfrac{n}{2n+1}. Applichiamo il criterio della radice alla serie ∑(n/(2n+1))n\sum (n/(2n+1))^n.
  2. Calcolo il limite della radice per n→∞ (divido numeratore e denominatore per n): è il valore ρ che deciderà la convergenza.
    lim⁡n→∞n2n+1=12\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{2n+1} = \dfrac{1}{2}
    lim⁡n→∞n2n+1=lim⁡n→∞12+1/n=12=0.5\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{2 + 1/n} = \frac{1}{2} = \mathbf{0.5}.
  3. Confronto ρ con 1: se ρ < 1 la serie converge assolutamente, se ρ > 1 diverge (ρ = 1 non decide). Qui ρ = 1/2.
    ρ=12<1⇒converge\rho = \dfrac{1}{2} < 1 \Rightarrow \text{converge}
    ρ=12=0.5<1\rho = \frac{1}{2} = 0.5 < 1. Poiché ρ<1\rho < 1, per il criterio della radice la serie converge assolutamente.
Risultato:La serie converge (ρ = 1/2 < 1).
TeoriaSerieFormularioAnalisi 1

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