ODE 2°Media

ODE 2° ordine: equazione caratteristica

Trova la soluzione generale di y'' − 5y' + 6y = 0.

Dati forniti

y'' − 5y' + 6y = 0

Passi

0 / 3

Per l'ODE lineare omogenea a coefficienti costanti cerco soluzioni e^{λx}: sostituendo si ottiene l'equazione caratteristica λ² − 5λ + 6 = 0.
Scrivi il tuo svolgimento — il risultato numerico deve apparire nel testo (logica)
Risolvo l'equazione caratteristica fattorizzando (λ−2)(λ−3)=0: ottengo due radici. Qual è la maggiore?
L'altra radice è λ₂. Essendo reali e distinte, la soluzione generale è combinazione di due esponenziali indipendenti: y = C₁e^{λ₁x} + C₂e^{λ₂x}.

Svolgimento completo

Per l'ODE lineare omogenea a coefficienti costanti cerco soluzioni e^{λx}: sostituendo si ottiene l'equazione caratteristica λ² − 5λ + 6 = 0.
$\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$
Equazione caratteristica: $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ .
Risolvo l'equazione caratteristica fattorizzando (λ−2)(λ−3)=0: ottengo due radici. Qual è la maggiore?
$\lambda_1 = 3$
$(\lambda-2)(\lambda-3) = 0 \;\Rightarrow\; \lambda_1 = \mathbf{3}$ .
L'altra radice è λ₂. Essendo reali e distinte, la soluzione generale è combinazione di due esponenziali indipendenti: y = C₁e^{λ₁x} + C₂e^{λ₂x}.
$\lambda_2 = 2 \Rightarrow y = C_1 e^{3x}+C_2 e^{2x}$
$\lambda_2 = \mathbf{2}$ . Radici reali distinte → soluzione generale: $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x}$ .

Risultato:y = C₁e^{3x} + C₂e^{2x}.

Continua a studiare