ODE del 2° Ordine e Sistemi Differenziali

Un'equazione differenziale del secondo ordine coinvolge la derivata seconda dell'incognita. Nel caso lineare si scrive

ed è omogenea se $f\equiv 0$, completa altrimenti. Quasi sempre lavoreremo a coefficienti costanti: $a,b,c$ numeri.

Perché il secondo ordine è speciale. La seconda legge di Newton $F=ma=m\,x''$ è per natura del secondo ordine: la forza determina l'accelerazione, non la posizione né la velocità. Per questo, conoscere solo la posizione iniziale non basta a prevedere il futuro: serve anche la velocità iniziale.

Il problema di Cauchy richiede infatti due condizioni iniziali:

Geometricamente: fissi sia il punto di partenza sia la pendenza di partenza. Per equazioni lineari con coefficienti continui, esistenza e unicità della soluzione sono garantite su tutto l'intervallo in cui $a(x)\neq0$.

Strategia generale. Risolveremo sempre in due tempi: prima l'omogenea associata (che dà la "struttura" del sistema libero), poi una soluzione particolare della completa (la risposta al forzamento esterno). La somma è la soluzione generale.

Per le equazioni lineari vale il principio di sovrapposizione: combinazioni lineari di soluzioni dell'omogenea sono ancora soluzioni. L'insieme delle soluzioni dell'omogenea del secondo ordine è uno spazio vettoriale di dimensione 2: basta trovare due soluzioni indipendenti $y_1,y_2$ per generarle tutte.

La soluzione generale della completa è

con $y_P$ una qualunque soluzione particolare. Le due costanti $C_1,C_2$ sono poi fissate dalle due condizioni iniziali.

Quando $y_1,y_2$ sono davvero indipendenti? Si misura con il Wronskiano:

Se $W\neq 0$ (anche in un solo punto, per soluzioni di una stessa ODE lineare) allora $y_1,y_2$ sono linearmente indipendenti e formano un sistema fondamentale. Se $W\equiv 0$ sono proporzionali e non bastano a generare lo spazio delle soluzioni.

Perché serve. Il Wronskiano garantisce che, date $y(x_0)$ e $y'(x_0)$, il sistema per $C_1,C_2$ sia risolubile in modo unico: la matrice dei coefficienti ha determinante $W(x_0)\neq 0$.

Per l'omogenea a coefficienti costanti $ay''+by'+cy=0$ proviamo soluzioni esponenziali $y=e^{\lambda x}$. Sostituendo ($y'=\lambda e^{\lambda x}$, $y''=\lambda^2 e^{\lambda x}$) e dividendo per $e^{\lambda x}\neq 0$ si ottiene l'equazione caratteristica:

Il segno del discriminante $\Delta$ determina tre scenari, che corrispondono a tre comportamenti fisici diversi:

• $\Delta>0$ (radici reali distinte $\lambda_1\neq\lambda_2$): $y_H = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$. Somma di due esponenziali — comportamento sovrasmorzato, nessuna oscillazione.
• $\Delta=0$ (radice doppia $\lambda$): una sola esponenziale non basta; la seconda soluzione indipendente è $x\,e^{\lambda x}$, quindi $y_H = (C_1 + C_2 x)\,e^{\lambda x}$. È lo smorzamento critico.
• $\Delta<0$ (radici complesse $\lambda=\alpha\pm i\beta$): usando la formula di Eulero, $y_H = e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x\big)$. Oscillazione di pulsazione $\beta$ con ampiezza modulata da $e^{\alpha x}$ (decrescente se $\alpha<0$).

Da dove esce $xe^{\lambda x}$? Nel caso $\Delta=0$ le due radici "collassano". Pensando al limite $\lambda_2\to\lambda_1$ della combinazione $(e^{\lambda_2 x}-e^{\lambda_1 x})/(\lambda_2-\lambda_1)$ si ottiene proprio $xe^{\lambda x}$: è la derivata rispetto a $\lambda$ di $e^{\lambda x}$.

Quando il termine noto $f(x)$ è di tipo "semplice" (polinomi, esponenziali, seni/coseni e loro prodotti), si indovina la forma di $y_P$ con coefficienti da determinare. L'idea: la risposta ha la stessa "forma" del forzamento.

La regola della risonanza. Se il tentativo è già soluzione dell'omogenea (cioè $k$ o $i\omega$ è radice caratteristica), va moltiplicato per $x$ (o $x^2$ se la radice è doppia). È esattamente ciò che produce la crescita lineare nella risonanza.

Esempio: per $y''-3y'+2y=e^{3x}$ si prova $y_P=Ae^{3x}$; sostituendo, $(9-9+2)Ae^{3x}=e^{3x}\Rightarrow A=1/2$. Se invece il termine noto fosse $e^{x}$ ($\lambda=1$ è radice), si proverebbe $y_P=Axe^{x}$.

È il metodo generale per la soluzione particolare: funziona con qualunque $f(x)$, anche quando i coefficienti indeterminati falliscono (es. $f(x)=\tan x$). Si parte da un sistema fondamentale $y_1,y_2$ dell'omogenea e si cerca

lasciando "variare" le costanti. Imponendo $u_1'y_1+u_2'y_2=0$ (vincolo di comodo) e la sostituzione nell'equazione, si arriva a:

dove $W=W(y_1,y_2)$ è il Wronskiano e $a$ il coefficiente di $y''$. Si integra per ottenere $u_1,u_2$ e quindi $y_P$.

Quando usarlo. Coefficienti indeterminati è più rapido per termini noti standard; la variazione dei parametri è la rete di sicurezza universale. Concettualmente mostra che la soluzione particolare è un integrale del forzamento "pesato" dalle soluzioni omogenee — l'idea alla base della funzione di Green.

Il modello universale dell'oscillatore è

con $m$ massa, $\gamma$ coefficiente di smorzamento, $k$ costante elastica, e forzamento esterno di pulsazione $\omega$. La pulsazione propria è $\omega_0=\sqrt{k/m}$.

Oscillatore libero ($F_0=0$). Il discriminante della caratteristica classifica i regimi:

• Sottosmorzato ($\gamma$ piccolo, $\Delta<0$): oscilla con ampiezza che decade come $e^{-\gamma t/2m}$.
• Smorzamento critico ($\Delta=0$): torna all'equilibrio nel minor tempo possibile senza oscillare (ammortizzatori, strumenti di misura).
• Sovrasmorzato ($\Delta>0$): ritorna lentamente, senza oscillare (porta con chiudiporta troppo carico).

Risonanza. Con smorzamento nullo e forzamento alla pulsazione propria ($\gamma=0$, $\omega=\omega_0$), il forzamento è in fase con l'oscillazione naturale: la regola della risonanza dà

ampiezza che cresce linearmente nel tempo, fino alla rottura. È il fenomeno che fa risuonare un bicchiere alla nota giusta e che gli ingegneri evitano nei ponti (Tacoma Narrows) e nei palazzi (smorzatori antisismici). Con smorzamento reale l'ampiezza non diverge ma ha un picco finito vicino a $\omega_0$.

Ogni ODE del secondo ordine si riscrive come sistema del primo ordine ponendo $x_1=y$, $x_2=y'$: si ottiene $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$. Più in generale studiamo sistemi lineari $2\times 2$:

Metodo degli autovalori. Si cercano soluzioni della forma $\mathbf{x}=e^{\lambda t}\mathbf{v}$. Sostituendo, $\lambda\mathbf{v}=A\mathbf{v}$: cioè $\lambda$ è un autovalore e $\mathbf{v}$ un autovettore di $A$. Gli autovalori risolvono

Con due autovalori reali distinti $\lambda_1,\lambda_2$ e autovettori $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$, la soluzione generale è la sovrapposizione dei due modi:

Per autovalori complessi $\alpha\pm i\beta$ si ottengono soluzioni oscillanti $e^{\alpha t}(\cos\beta t,\sin\beta t)$; per un autovalore doppio difettivo compare un termine $t\,e^{\lambda t}$, come nelle ODE.

L'origine $\mathbf{0}$ è sempre equilibrio di $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$. Il suo tipo e la sua stabilità dipendono solo dagli autovalori $\lambda_{1,2}$, riassunti da traccia $\tau=\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2$ e determinante $\delta=\det(A)=\lambda_1\lambda_2$:

• Reali concordi negativi ($\delta>0$, $\tau<0$, $\tau^2>4\delta$): nodo stabile, tutte le traiettorie convergono.
• Reali concordi positivi ($\delta>0$, $\tau>0$): nodo instabile, tutto diverge.
• Reali di segno opposto ($\delta<0$): sella, sempre instabile (converge lungo un autovettore, diverge lungo l'altro).
• Complessi con $\operatorname{Re}<0$ ($\tau<0$, $\tau^2<4\delta$): fuoco stabile (spirale entrante).
• Complessi con $\operatorname{Re}>0$: fuoco instabile (spirale uscente).
• Immaginari puri ($\tau=0$, $\delta>0$): centro, orbite chiuse (oscillatore non smorzato), stabilità neutra.

Regola pratica. Stabile (asintoticamente) $\iff$ $\operatorname{Re}(\lambda_i)<0$ per entrambi $\iff$ $\tau<0$ e $\delta>0$. Tutto si legge a colpo d'occhio nel piano $(\tau,\delta)$: la parabola $\tau^2=4\delta$ separa nodi (sotto) da fuochi (sopra); il semiasse $\delta<0$ sono le selle; l'asse $\tau=0$ con $\delta>0$ i centri.