Campi Vettoriali e Teoremi Integrali

Un campo vettoriale $\mathbf{F}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ assegna a ogni punto $\mathbf{x}$ un vettore $\mathbf{F}(\mathbf{x})$. A differenza di un campo scalare (un numero per punto, come la temperatura), qui ogni punto porta una freccia: direzione e intensità.

Esempi fisici. Il campo di velocità di un fluido (a ogni punto la velocità della particella lì), il campo gravitazionale (la forza per unità di massa), il campo elettrico (la forza per unità di carica). Disegnarli aiuta l'intuizione: si traccia una freccia in ogni punto, o le linee di flusso (curve tangenti al campo in ogni punto, come le limature di ferro attorno a un magnete).

Linee di flusso. Sono le traiettorie di una particella trascinata dal campo: risolvono il sistema $\mathbf{r}'(t)=\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ — un legame diretto con le equazioni differenziali. Dove le linee si addensano, il campo è intenso.

Due domande guidano lo studio: il campo "esce" da un punto? (divergenza) e il campo "ruota" attorno a un punto? (rotore). Sono le due derivate fondamentali della prossima sezione.

Per $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ si definiscono due operatori differenziali, costruiti formalmente col simbolo "nabla" $\nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z)$.

Divergenza (scalare):

Misura il flusso netto uscente dal campo per unità di volume, in un intorno infinitesimo del punto. Divergenza positiva = sorgente (il campo "sgorga", come da una carica positiva); negativa = pozzo (il campo "viene risucchiato"); nulla = campo solenoidale (quanto entra, esce — come il campo magnetico).

Rotore (vettore):

Misura la tendenza a ruotare attorno a un punto. Se metti una minuscola ruota a pale nel campo, il rotore dice se e quanto velocemente gira, e attorno a quale asse. Rotore nullo = campo irrotazionale. Si calcola comodamente come determinante formale con $\nabla$ e i versori $\hat i,\hat j,\hat k$.

Un campo $\mathbf{F}$ è conservativo se deriva da un potenziale scalare $U$: $\mathbf{F}=\nabla U$. Per questi campi il lavoro dipende solo dagli estremi (visto nel capitolo Curve), e la circuitazione su ogni cammino chiuso è nulla.

Il test del rotore. Su un dominio semplicemente connesso di $\mathbb{R}^3$ (senza "buchi" che il cammino possa circondare):

Cioè conservativo $\iff$ irrotazionale. Il motivo profondo: il rotore di un gradiente è sempre nullo, $\nabla\times(\nabla U)=\mathbf{0}$ (le derivate seconde miste commutano). Quindi $\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}$ è necessario; la semplice connessione lo rende anche sufficiente.

Conseguenze. $\oint_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0$ su ogni curva chiusa, e $\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=U(B)-U(A)$. In fisica: forza peso ed elettrostatica sono conservative (energia potenziale ben definita); l'attrito no.

Attenzione al dominio. Su domini con buchi il test può ingannare: il campo "a vortice" $\mathbf{F}=(-y,x)/(x^2+y^2)$ è irrotazionale su $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ ma non conservativo ($\oint=2\pi$ attorno all'origine).

Il flusso di un campo $\mathbf{F}$ attraverso una superficie orientata $\Sigma$ misura "quanto campo attraversa la superficie". Si proietta $\mathbf{F}$ sulla normale $\hat n$ e si integra sull'area:

Il vettore $\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v$ è normale alla superficie (visto nel capitolo Funzioni vettoriali) e ingloba già l'elemento d'area: la sua norma è $dS$, la sua direzione l'orientazione.

Interpretazione fisica. Se $\mathbf{F}$ è la velocità di un fluido, $\Phi$ è la portata: il volume di fluido che attraversa $\Sigma$ per unità di tempo. Solo la componente di $\mathbf{F}$ perpendicolare alla superficie contribuisce; il flusso parallelo non "attraversa".

Orientazione. Il segno del flusso dipende da quale verso della normale si sceglie. Per superfici chiuse si usa convenzionalmente la normale uscente. Invertendo l'orientazione il flusso cambia segno.

Il primo dei tre teoremi integrali, in due dimensioni. Lega un integrale di linea sul bordo di un dominio a un integrale doppio sul suo interno.

Per un dominio piano $D$ con bordo $\partial D$ orientato positivamente (antiorario, lasciando $D$ a sinistra):

Cosa dice. La circuitazione del campo lungo il bordo è uguale all'integrale, sull'area, della "componente $z$ del rotore" $Q_x-P_y$. Se il campo è conservativo ($Q_x=P_y$) il secondo membro è nullo: ritroviamo $\oint=0$.

Corollario utilissimo: l'area come integrale di bordo. Scegliendo $P,Q$ opportuni:

È il principio del planimetro, lo strumento che misura l'area di una figura percorrendone solo il contorno. Gauss-Green è il caso piano del teorema di Stokes (§7).

Generalizza Gauss-Green al 3D, legando un flusso attraverso una superficie chiusa all'integrale della divergenza nel volume racchiuso.

Per un volume $V$ con bordo $\partial V$ (superficie chiusa) orientato verso l'esterno:

L'idea. Il flusso uscente netto dalla superficie è la somma di tutte le "sorgenti" interne (la divergenza). Le pareti interne tra celle adiacenti si cancellano: sopravvive solo il flusso attraverso il bordo esterno. È l'analogo del teorema fondamentale del calcolo ("l'integrale della derivata = valori al bordo"), in 3D.

In fisica. È la legge di Gauss dell'elettrostatica: il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica racchiusa ($\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$). Permette di calcolare campi sfruttando la simmetria, senza integrare direttamente.

Il terzo teorema integrale: lega la circuitazione di un campo lungo una curva chiusa al flusso del suo rotore attraverso una qualsiasi superficie che abbia quella curva come bordo.

Per una superficie $\Sigma$ con bordo $\partial\Sigma=\gamma$, orientati coerentemente (regola della mano destra):

Cosa dice. La "rotazione complessiva" misurata percorrendo il bordo è uguale alla somma delle micro-rotazioni (il rotore) sulla superficie. Notevole: il risultato non dipende da quale superficie scegli, purché abbia lo stesso bordo.

Unifica i casi precedenti. In un piano ($\mathbf{F}$ 2D), Stokes diventa Gauss-Green. Se $\mathbf{F}$ è conservativo ($\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}$), il secondo membro è nullo e ritroviamo $\oint=0$.

In fisica. È la legge di Ampère (la circuitazione di $\mathbf{B}$ lungo un circuito = corrente concatenata) e la legge di Faraday (la f.e.m. indotta = variazione del flusso magnetico). Stokes è il ponte matematico delle equazioni di Maxwell in forma rotazionale.

Gauss-Green, Divergenza e Stokes sono lo stesso principio in dimensioni diverse: l'integrale di una "derivata" su una regione è uguale all'integrale del campo sul bordo della regione. È il teorema fondamentale del calcolo, generalizzato (in linguaggio moderno: teorema di Stokes per le forme differenziali, $\int_\Omega d\omega=\int_{\partial\Omega}\omega$).

Due identità chiave che semplificano tutto: il rotore di un gradiente è nullo, $\nabla\times(\nabla U)=\mathbf{0}$ (campi conservativi sono irrotazionali); la divergenza di un rotore è nulla, $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0$ (i campi rotore sono solenoidali — niente sorgenti per il campo magnetico).

Maxwell. Le quattro equazioni di Maxwell sono esattamente queste relazioni applicate a $\mathbf{E}$ e $\mathbf{B}$: due con la divergenza (Gauss elettrico e magnetico), due con il rotore (Faraday e Ampère-Maxwell). Tutto l'elettromagnetismo classico sta in questo capitolo.